como calcular interpolação polinomial?

A interpolação consiste em determinar uma função (iremos considerar polinómios), que assume valores conhecidos em certos pontos (que chamaremos nós de interpolação). A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às caracteristicas que pretendemos que a função possua.

A interpolação polinomial pode-se revelar desadequada se os nós de interpolação não forem escolhidos convenientemente (o que leva ao uso de nós de Chebyshev...). De um modo geral, o conjunto das funções interpoladoras é determinado por um número finito de parâmetros (no caso dos polinómios, são os seus coeficientes...) que deverá ser igual ao número de condições impostas (ou seja, ao número de nós), para que haja apenas uma solução. Nos casos que veremos, a determinação dos parâmetros, que definem a função interpoladora, irá levar-nos à resolução de um sistema linear.

Se considerarmos a interpolação polinomial, podemos evitar a resolução desse sistema, usando as fórmulas de Lagrange ou de Newton, que reduzem significativamente o número de operações envolvido. 

Consideremos um conjunto de pontos (designados nós de interpolação) 
x₀ , ... , x_n , a que estão associados os valores de uma função f₀ , ... , f_n, respectivamente. 
Pretendemos encontrar um polinómio p tal que

para i = 0, ..., n.

 
O polinómio de 3º grau interpola a função em 4 pontos

Escrevendo p( x ) = a₀ + a₁ x + ... + a_m x^m, obtemos o sistema

e para que este sistema seja possível e determinado é pelo menos necessário que m=n. 
Obtemos assim o sistema linear :

em que a matriz do sistema é conhecida como Matriz de Vandermonde. 
A existência e unicidade do polinómio interpolador é equivalente a assegurar que o 
sistema é possível e determinado para quaisquer x₀ , ... , x_n distintos.

Para calcular a interpolação polinomial, o primeiro passo a  ser tomado é analisar quais serão os intervalos onde essa interpolação será aplicada. Geralmente o termo que queremos encontrar em uma interpolação está entre um termo máximo e mínimo, ambos definidos. Sendo assim, a interpolação ocorre utilizando-se a seguinte expressão abaixo:

\(\frac{x-{{x}_{0}}}{x-{{x}_{f}}}=\frac{y-{{y}_{0}}}{y-{{y}_{f}}} \)

Um exemplo onde a interpolação é utilizada é para encontrarmos as temperaturas de determinadas substâncias  quando elas estão tabeladas. Por exemplo, na Termodinâmica, existe uma tabela para qual é mostrada a temperatura, pressão e volume de algumas substâncias, para determinadas valores. Sendo assim, quando queremos encontrar algum valor entre esses valores dados em tabela, utilizamos a interpolação.