Livro interativo de Interpolação polinomial (1)

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Livro interativo de Interpolação polinomial
Neste livro interativo exploramos o problema da interpolação polinomial de funções. São apresentados os métodos para a construção dos
polinómios interpoladores de Lagrange, de Newton e de Hermite. Neste último caso, o polinómio interpola também os valores da primeira
derivada da função. É tratado ainda o problema da interpolação inversa.
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Disciplina: MÓDULOS INTERATIVOS DE ANÁLISE NUMÉRICA
Livro: Livro interativo de Interpolação polinomial
Impresso por:Milton Ferreira
Data: segunda, 27 de abril de 2020 às 10:13
https://mito.ipleiria.pt/
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Índice
1. Definição de interpolação
2. Interpolação polinomial - método dos coeficientes indeterminados
 2.1. Exemplo
 2.2. Para testar
 2.3. Vantagens e desvantagens
5. Diferenças divididas
 5.1. Exemplo 1
 5.2. Exemplo 2
 5.3. Exemplo 3
6. Polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas
 6.1. Exemplo 1
 6.2. Exemplo 2
 6.3. Exemplo 3
9. Estimativa do erro absoluto de interpolação
 9.1. Exemplo 1
 9.2. Exemplo 2
 9.3. Exemplo 3
10. Exemplo de convergência não uniforme
11. Interpolação inversa
 11.1. Exemplo 1
 11.2. Exemplo 2
 11.3. Exemplo 3
12. Polinómio interpolador de Hermite
 12.1. Exemplo 1
 12.2. Exemplo 2
 12.3. Exemplo 3
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1. Definição de interpolação
O problema da interpolação surgiu da necessidade de calcular o valor aproximado de uma função numa determinada abcissa quando
apenas se conhece a função num determinado conjunto discreto de pontos.
Este tipo de problemas surge normalmente na engenharia e na ciência pois geralmente temos dados pontuais obtidos a partir de uma
amostragem ou de uma experiência. Para resolver o problema devemos encontrar uma função que substitua a função segundo algum
critério para depois podermos extrapolar (ou prever) o valor de pretendido. O método que vamos ver neste Livro Interativo é a
interpolação.
 
Problema de interpolação:
Conhecidos pontos de uma função real de variável real
pretende-se encontrar uma função que passe nos pontos dados, isto é, tal que
Para tornar o problema mais fácil de resolver vamos supor que é uma combinação linear de funções pré-definidas isto é,
com constantes reais a determinar, de forma que
Assim, o sistema a resolver é um sistema linear com equações e incógnitas.
A função designa-se habitualmente por função interpoladora de e o conjunto de pontos designa-se suporte
de interpolação.
As abcissas dizem-se os nós de interpolação e as ordenadas/imagens são os valores nodais.
Na figura seguinte está ilustrado o conceito de interpolação (a função passa nos 5 pontos dados). 
 
O procedimento de interpolação (substituição de pela função ) deve ser feito quando
conhecemos apenas alguns valores da função sem termos uma expressão analítica para a função. Tais valores podem ser obtidos
por dados experimentais, resultantes de medições. Neste caso, os dados experimentais devem ser bastante precisos para que se opte
pelo método de interpolação como método de aproximação.
 tem uma expressão analítica complicada que torna certas operações difíceis ou mesmo impossíveis de realizar, como por exemplo, a
derivação ou a integração.
O tipo de interpolação depende da estrutura da família de funções Alguns exemplos são:
interpolação polinomial: 
interpolação exponencial:
interpolação trigonométrica: 
f x
f
g f
f(x)
n + 1
( , ), ( , ), … , ( , )x0 y0 x1 y1 xn yn
g
g( ) = , ∀ i = 0, … , n.xi yi
g n + 1 , … , ,ϕ0 ϕn
g(x) = (x) + ⋯ + (x),a0ϕ0 anϕn
, … ,a0 an
.
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
g( ) =x0 y0
g( ) =x1 y1
⋮
g( ) =xn yn
n + 1 n + 1
g f {( , ), i = 0, … , n}xi yi
, … ,x0 xn , … ,y0 yn
g
f g
f
f
, … , .ϕ0 ϕn
g(x) = + x + + ⋯ +a0 a1 a2x2 anxn
g(x) = + + + ⋯ +a0 a1ex a2e2x anenx
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/
A interpolação polinomial é a mais utilizada quando não se conhece o comportamento da função e é o tipo de interpolação que iremos
tratar neste Livro interativo. 
Nota: Um problema de interpolação pode não ter solução. Por exemplo, não existe nenhuma função da forma
que passe em e porque, sendo e funções pares, também é uma função par, pelo que 
 logo não é possível ter e para o modelo da função escolhido. Assim é importante garantir em que
condições é que o problema de interpolação tem solução e a solução é única. 
g(x) = + + + ⋯ + .a0 a1e
ix a2e
2ix ane
nix
f
g(x) = (x) + (x) = +a0ϕ0 a1ϕ1 a0 a1x
2
(−1, 0) (1, 1) (x) = 1ϕ0 (x) =ϕ1 x2 g
g(−1) = g(1), g(−1) = 0 g(1) = 1 g
/
2. Interpolação polinomial - método dos coeficientes indeterminados
Existem duas razões para estudarmos a interpolação polinomial:
é um processo simples de obter aproximações polinomiais para uma função e está na base do desenvolvimento de métodos numéricos
para calcular, por exemplo, zeros de funções, aproximações para integrais e valores das derivadas e resolução de equações diferenciais.
os polinómios aproximam uniformemente funções contínuas, isto é, dada uma função qualquer definida e contínua num intervalo 
existe um polinómio que aproxima a função desejada com um erro tão pequeno quanto pretendido (Teorema de Weierstrass).
Teorema de Weierstrass: Seja uma função real de variável real. Se é contínua em então para qualquer (número real positivo)
existe um polinómio definido em tal que
Método dos coeficientes indeterminados:
Para determinar os coeficientes do polinómio de grau 
que verifica as condições temos de resolver o seguinte sistema de equações lineares com equações e 
 incógnitas:
A este método de determinar os coeficientes do polinómio interpolador através da resolução do sistema linear chamamos método dos
coeficientes indeterminados. Matricialmente, o sistema de equações lineares anterior é dado por com
 A matriz é conhecida por matriz de Vandermonde e é invertível se os nós forem distintos.
Teorema: Se os nós forem distintos então a matriz de Vandermonde tem determinante não nulo.
Conclusões:
Se os nós de interpolação forem distintos então o sistema de equações lineares anterior é possível e determinado uma
vez que e, portanto, o polinómio interpolador existe e é único.
Se ao resolver o sistema linear obtemos então o polinómio interpolador é de grau mas pode acontecer que e, nesse
caso, o polinómio interpolador é de grau menor do que Por exemplo, se os valores nodais forem todos iguais então o
polinómio interpolador é uma reta horizontal e portanto é de grau zero. Assim, dizemos que para pontos existe sempre um
único polinómio interpolador de grau menor ou igual a 
Se pretendessemos determinar um polinómio interpolador de grau maior do que considerando nós então o sistema 
seria possível e indeterminado e, neste caso, já não teríamos a unicidade do polinómio interpolador.
Se pretendessemos determinar um polinómio interpolador de grau menor do que considerando nós então o sistema 
poderia ser impossível. Por exemplo, se três pontos não estiverem alinhados segundo uma reta não pode existir um polinómio
interpolador de grau 1 (reta) que passe nesses três pontos. 
[a, b],
f f [a, b] ϵ > 0
p, [a, b]
|f(x) − p(x)| ≤ ϵ, ∀ x ∈ [a, b].
, … ,a0 an n
(x) = + + … + x +pn anxn an−1xn−1 a1 a0
( ) = , i = 0, … , npn xi yi n + 1
n + 1
⇔ .
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
( ) =pn x0 y0
( ) =pn x1 y1
⋮
( ) =pn xn yn
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
+ + ⋯ + + =anxn0 an−1x
n−1
0 a1x0 a0 y0
+ + ⋯ + + =anxn1 an−1x
n−1
1 a1x1 a0 y1
⋮
+ + ⋯ + + =anxnn an−1xn−1n a1xn a0 yn
V A = Y ,
V = , A = e Y = .
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
xn0
xn1
⋮
xnn
xn−10
xn−11
⋮
xn−1n
…
…
⋮
…
x0
x1
⋮
xn
1
1
⋮
1
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
an
an−1
⋮
a0
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
y0
y1
⋮
yn
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
V , … ,x0 xn
, … ,x0 xn
n + 1 , … ,x0 xn
det V ≠ 0
≠ 0an n, = 0an
n. = … =y0 yn
n + 1
n.
n n + 1 V A = Y
n n + 1 V A = Y
/
 2.1. Exemplo
Exemplo: Determine o polinómio que interpola uma função conhecida nos seguintes nós: 
Resolução: Como temos 3 nós o polinómio interpolador tem no máximo grau2. Determinar o polinómio que
interpola a função f nos nós tabelados é equivalente a resolver o sistema de equações lineares:
Assim, o polinómio que interpola a função f nos pontos tabelados é
f
xi 0 1 2
yi 2 −1 0
p(x) = + x +a2x2 a1 a0
⇔ ⇔ .
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
p(0) = 2
p(1) = −1
p(2) = 0
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
= 2a0
+ + = −1a2 a1 a0
4 + 2 + = 0a2 a1 a0
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
= 2a0
= −5a1
= 2a2
p(x) = 2 − 5x + 2.x2
/
 2.2. Para testar
Na applet seguinte pode introduzir os nós de interpolação e os valores nodais sob a forma de pares ordenados na Lista e verificar
graficamente o polinómio interpolador dos dados.
( , )xi yi
/
 2.3. Vantagens e desvantagens
Teoricamente a construção do polinómio por aplicação do método dos coeficientes indeterminados (para polinómios pequenos) funciona
bem, existem contudo duas grandes desvantagens que tornam este método computacionalmente pouco recomendável:
o método implica a resolução de um sistema de equações lineares de ordem o que conduz a efetuar um número de operações
aritméticas bastante elevado à medida que o grau do polinómio aumenta; 
o sistema linear a resolver torna-se mal condicionado quando o grau do polinómio aumenta. Nesta situação, os coeficientes do
polinómio vão perdendo a sua precisão numérica, podendo chegar ao caso de não apresentarem algarismos significativos corretos.
Nos capítulos seguintes vamos estudar outras formas de construir o polinómio interpolador de uma dada função f em nós distintos.
n + 1,
n + 1
/
5. Diferenças divididas
Definição:
Sejam uma função real de uma variável real definida em e os nós de interpolação distintos (não igualmente
distanciados em geral) tal que . Designamos por
diferença dividida de ordem zero da função em relação ao nó a
diferença dividida de ordem um da função em relação aos nós, e a
diferença dividida de ordem dois da função em relação aos nós, e a
diferença dividida de ordem da função em relação aos nós, e a
Como vimos as diferenças divididas são definidas recursivamente, isto é, as diferenças divididas de ordem são definidas à custa das
diferenças divididas de ordem para qualquer 
As diferenças divididas de uma função podem ser apresentadas numa tabela, a qual se designa por tabela das diferenças dividas, como
se ilustra em seguida.
 
Propriedades:
As diferenças divididas são funções simétricas dos seus argumentos, isto é, qualquer que seja a ordem dos o valor da diferença
dividida é sempre igual. Por exemplo, é fácil ver que
Verifique por exemplo que
Tem-se
f [a, b] , … , ∈ [a, b]x0 xn n + 1
= f( )yi xi
f xi
f[ ] := ;xi yi
f xi ,xi+1
f[ , ] := = ;xi xi+1
f[ ] − f[ ]xi+1 xi
−xi+1 xi
−yi+1 yi
−xi+1 xi
f ,xi xi+1 ,xi+2
f[ , , ] := ;xi xi+1 xi+2
f[ , ] − f[ , ]xi+1 xi+2 xi xi+1
−xi+2 xi
k ≥ 1 f , , … ,xi xi+1 xi+k−1 ,xi+k
f[ , , … , , ] := .xi xi+1 xi+k−1 xi+k
f[ , … , , ] − f[ , , … , ]xi+1 xi+k−1 xi+k xi xi+1 xi+k−1
−xi+k xi
k
k − 1, k ≥ 1.
f
xi yi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅] ⋯
x0 y0
f[ , ] =x0 x1
−y1 y0
−x1 x0
x1 y1 f[ , , ] =x0 x1 x2
f[ , ] − f[ , ]x1 x2 x0 x1
−x2 x0
f[ , ] =x1 x2
−y2 y1
−x2 x1
f[ , , , ] =x0 x1 x2 x3
f[ , , ] − f[ , , ]x1 x2 x3 x0 x1 x2
−x3 x0
x2 y2 f[ , , ] =x1 x2 x3
f[ , ] − f[ , ]x2 x3 x1 x2
−x3 x1
⋯
f[ , ] =x2 x3
−y3 y2
−x3 x2
⋯
x3 y3 ⋯ ⋯
⋯ f[ , , , ] =xn−3 xn−2 xn−1 xn
f[ , , ] − f[ , , ]xn−2 xn−1 xn xn−3 xn−2 xn−1
−xn xn−3
⋯⋯ f[ , , ] =xn−2 xn−1 xn
f[ , ] − f[ , ]xn−1 xn xn−2 xn−1
−xn xn−2
f[ , ] =xn−1 xn
−yn yn−1
−xn xn−1
xn yn
xi
f[ , ] = = = f[ , ].x0 x1
−y1 y0
−x1 x0
−y0 y1
−x0 x1
x1 x0
f[ , , ] = f[ , , ] = f[ , , ] = f[ , , ] = f[ , , ] = f[ , , ].x0 x1 x2 x0 x2 x1 x1 x0 x2 x1 x2 x0 x2 x0 x1 x2 x1 x0
f[ , , … , ] =x0 x1 xn ∑
i=0
n
yi
( − )∏
j=0,j≠i
n
xi xj
/
quaisquer que sejam os nós distintos. 
As diferenças divididas de ordem de um polinómio de grau são todas iguais e iguais ao coeficiente do monómio do
polinómio (logo diferentes de zero) e as diferenças divididas de ordem ou superior são iguais a zero. Por exemplo,
, … ,x0 xn
n n an anx
n
n + 1
[ , , … , ] = e [ , , … , ] = 0.pn x0 x1 xn an pn x0 x1 xn+1
/
 5.1. Exemplo 1
Exemplo 1: Vamos construir as diferenças divididas da função dada pela tabela: 
Resolução: Temos:
f
xi −2 0 1.5 2.5
= f( )yi xi 3.3 1.3 4.1 7.4
xi f( )xi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
−2 3.3
= −1
1.3 − 3.3
0 − (−2)
0 1.3 =
1.75 − (−1)
1.6 − (−2)
55
72
= 1.75
4.1 − 1.3
1.6 − 0
≈ −0.0640
−25
54
55
72
2.7 − (−2)
1.6 4.1 =
3 − 1.75
2.7 − 0
25
54
= 3
7.4 − 4.1
2.7 − 1.6
2.7 7.4
/
 5.2. Exemplo 2
Exemplo 2: Vamos construir as diferenças divididas do polinómio nos cinco nós distintos 
 e sabendo que e 
Resolução: Temos
Como podemos observar, as diferenças divididas de ordem são todas iguais entre si e iguais ao coeficiente da maior potência do
polinómio A partir da ordem as diferenças divididas são todas iguais a zero.
p(x) = + 2x − 4,x2 = −2,x0 = −1,x1
= 0,x2 = 1x3 = 2,x4 p(−2) = −4, p(−1) = −5, p(0) = −4, p(1) = −1 p(2) = 4.
xi yi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
−2 −4
= −1
−5 − (−4)
−1 − (−2)
−1 −5 = 1
1 − (−1)
0 − (−2)
= 1
−4 − (−5)
0 − (−1)
0
0 −4 = 1
3 − 1
1 − (−1)
0
= 3
−1 − (−4)
1 − 0
0
1 −1 = 1
5 − 3
2 − 0
= 5
4 − (−1)
2 − 1
2 4
2
( = 1).a2 3
/
 5.3. Exemplo 3
Exemplo 3: Vamos determinar o valor do parâmetro real de modo a que os valores tabelados
correspondam a um polinómio de grau 
Resolução: Vamos começar por construir a tabela das diferenças divididas.
Para que os valores tabelados correspondam a um polinómio de grau temos de impor que as diferenças de ordem superior a sejam
nulas. Assim, o polinómio é de grau se
α,
xi 1 2 3 4
yi 2 −1 α 4
2.
xi yi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
1 2
−3
2 −1
α + 4
2
α + 1
−1 − 3α
6
3 α
3 − 2α
2
4 − α
4 4
2 2
2
= 0 ⇔ −3α = 1 ⇔ α = − .
−1 − 3α
6
1
3
/
6. Polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas
Definição:
Sejam uma função real de uma variável real definida em e os nós de interpolação distintos (não igualmente
distanciados em geral).
O polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas que interpola a função nos nós é dado por
Notas: 
Os coeficientes do polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas dependem dos valores que se localizam ao longo da
primeira diagonal da respetiva tabela das diferenças divididas.
Nos fatores da fórmula do polinómio interpolador de Newton não entra o último nó no entanto ele é utilizado na tabela
das diferenças divididas pelo que o seu contributo para o polinómio é através das diferenças divididas.
O polinómio interpolador de Newton nos nós pode ser obtido à custa do polinómio interpolador de Newton nos 
 nós já que
com
Assim, a inclusão de um nó adicional na tabela não altera toda a estrutura do polinómio interpolador sendo necessário apenas
completar a tabela das diferenças divididas e juntar mais uma parcela no polinómio interpolador dos nós iniciais. Esta terá sido a
motivação principal para a descoberta da fórmula interpoladora de Newton.
f [a, b] , … , ∈ [a, b]x0 xn n + 1
f n + 1
(x)pn
 
= f( ) + f[ , ](x − ) + f[ , , ](x − )(x − )+x0 x0 x1 x0 x0 x1 x2 x0 x1
+ … + f[ , , … , ](x − )(x − ) ⋯ (x − ).x0 x1 xn x0 x1 xn−1
(x − )xi ,xn
n + 1 , … ,x0 xn
n − 1 , … , ,x0 xn−1
(x) = (x) + f[ , , … , ](x − )(x − ) ⋯ (x − )pn pn−1 x0 x1 xn x0 x1 xn−1
(x) = f( ) + f[ , ](x − ) + f[ , , ](x − )(x − ) + … +pn−1 x0 x0 x1 x0 x0 x1 x2 x0 x1
f[ , , … , ](x − )(x − ) ⋯ (x − ).x0 x1 xn−1 x0 x1 xn−2
/
 6.1. Exemplo 1
Exemplo 1: Vamos determinar o polinómio interpolador de Newton da função conhecida nos seguintes nós 
Resolução:
Começamos por construir a tabela da diferenças divididas da função dada.
.
Utilizando os elementos da tabela das diferenças divididas que se localizam ao longo da primeira diagonal, temos que o polinómio
interpolador de Newton de grau menor ou igual a é dado por: 
que é o mesmo polinómio calculado nos Exemplos 2.1 e 3.1. 
f
xi 0 1 2
f( )xi 2 −1 0
xi f( )xi f[⋅, ⋅] f[⋅,⋅, ⋅]
0 2
=
−1 − 2
1 − 0
−3
1 −1 =
1 − (−3)
2 − 0
2
= 1
0 − (−1)
2 − 1
2 0
2
(x)p2 =
=
=
f( ) + f[ , ](x − ) + f[ , , ](x − )(x − )x0 x0 x1 x0 x0 x1 x2 x0 x1
2 + (−3) × (x − 0) + 2 × (x − 0)(x − 1)
2 − 5x + 2x2
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/
 6.2. Exemplo 2
Exemplo 2: Dada a a função conhecida nos pontos da tabela seguinte 
determinar o polinómio interpolador de Newton da função em todos os nós e o polinómio interpolador de Newton da função nos três
últimos nós.
Resolução:
Começamos por construir a tabela das diferenças divididas de 
Utilizando os elementos da diagonal assinalada a vermelho, o polinómio interpolador de Newton de grau nos nós é dado por: 
Podemos verificar facilmente a propriedade interpoladora do polinómio observando que e 
A partir da tabela de diferenças divididas podemos construir o polinómio interpolador dos dados nos nós e utilizando os elementos
da diagonal assinalada a verde: 
f
xi −2 0 1 2
f( )xi −7 3 1 −2
f f
f.
xi f )xi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
−2 −7
=
3 − (−7)
0 − (−2)
5
0 3 =
−2 − 5)
1 − (−2)
−
7
3
=
1 − 3
1 − 0
−2 =
− +1
2
7
3
2 − (−2)
11
24
1 1 =
−3 + 2
2 − 0
−
1
2
= −3
−2 − 1
2 − 1
2 −2
3 −2, 0, 1, 2
(x)p3 =
=
f( ) + f[ , ](x − ) + f[ , , ](x − )(x − )x0 x0 x1 x0 x0 x1 x2 x0 x1
+ f[ , , , ](x − )(x − )(x − )x0 x1 x2 x3 x0 x1 x2
− 7 + 5(x + 2) − (x + 2)x + (x + 2)x(x − 1).
7
3
11
24
(−2) = −7,p3 (0) = 3,p3 (1) = 1p3
(2) = −2.p3
0, 1 2.
(x)p2 =
=
f( ) + f[ , ](x − ) + f[ , , ](x − )(x − )x0 x0 x1 x0 x0 x1 x2 x0 x1
3 − 2x − x(x − 1).
1
2
/
 6.3. Exemplo 3
Exemplo 3: Dada a função nos pontos
construir o polinómio interpolador nos pontos dados, determinar uma aproximação para e o erro cometido nessa aproximação.
Resolução: A tabela de diferenças divididas é:
 
Logo, o polinómio interpolador de Newton dos pontos dados é dado por: 
Para calcular o valor aproximado de temos:
O erro absoluto da aproximação é
e o erro relativo é
o que corresponde a uma percentagem de erro relativo da ordem de 
No gráfico seguinte podemos comparar a aproximação da função pelo polinómio interpolador em 
f(x) = x−−√
(1, 1), (3, 1.732), (4, 2), (5, 2.236)
f(2)
xi f( )xi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
1 1
0.366
3 1.732 −0.0327
0.268 4.175 × 10−3
4 2 −0.016
0.236
5 2.236
(x)p3 =
=
f( ) + f[ , ](x − ) + f[ , , ](x − )(x − )x0 x0 x1 x0 x0 x1 x2 x0 x1
1 + 0.366(x − 1) − 0.0327(x − 1)(x − 3) + 4.175 × (x − 1)(x − 3)(x − 4).10−3
f(2)
f(2) ≈ (2)p3 =
=
1 + 0.366(2 − 1) − 0.0327(2 − 1)(2 − 3) + 4.175 × (2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)10−3
1.40705.
e = |f(2) − (2)| = | − 1.40705| ≈ 0.007164p3 2
–√
δ = ≈ 5.0654 ×
| − 1.40705|2
–√
| |2
–√
10−3
0.5%.
f(x) = x−−√ p3 [0, 5].
https://mito.ipleiria.pt/mod/book/tool/print/index.php?id=1499
/
9. Estimativa do erro absoluto de interpolação
Quando estamos a estimar o valor de uma função num ponto diferente dos nós recorrendo ao polinómio interpolador estamos a cometer um
erro, designado erro de interpolação. Para sabermos se a aproximação é boa temos de determinar o erro de interpolação ou um majorante.
Teorema: Seja o polinómio de grau menor ou igual a interpolador de uma função real de uma variável real, nos nós distintos 
 Se tem derivadas contínuas até à ordem em então para qualquer o erro absoluto de interpolação
é majorado por
onde
Este teorema dá-nos uma fórmula para estimarmos o erro da aproximação de uma função pelo método de interpolação, recorrendo à
estimativa da derivada de ordem da função. Se a função for conhecida podemos estimar o valor máximo da derivada de ordem 
 no intervalo No entanto, na prática, a função não é conhecida a maior parte das vezes, pelo que o teorema anterior tem
pouco interesse do ponto de vista prático.
Vamos ver que é possível relacionar as diferenças divididas com as derivadas da função e com isso obter uma estimativa para o erro de
interpolação à custa das diferenças divididas da função 
Teorema: Sejam uma função real de variável real definida em e os nós de interpolação diferentes. Se 
tem derivadas contínuas até à ordem em então existe pelo menos um tal que 
Conjugando os dois teoremas anteriores obtemos a seguinte estimativa (pode não ser um majorante) do erro absoluto de interpolação.
Teorema: Seja o polinómio de grau menor ou igual a interpolador de uma função definida em nos nós distintos 
 Se tem derivadas contínuas até à ordem em então para qualquer tem-se 
Para ver a demonstração destes teoremas pode consultar os apontamentos teóricos de C. Campos (ver bibliografia).
Notas:
No caso de utilizarmos as diferenças divididas de ordem para estimarmos o máximo da derivada de ordem da função
obtemos apenas uma estimativa para o erro absoluto de interpolação e não um majorante em geral pois temos acesso apenas a alguns
valores da derivada e não a todos os valores da derivada no intervalo de interpolação.
No caso de diferenças divididas construímos a tabela das diferenças divididas até à ordem com o máximos de nós de
interpolação possíveis e usamos o maior valor absoluto das diferenças divididas de ordem como aproximação para 
No caso de diferenças descendentes (nós igualmente espaçados) temos de construir a tabela das diferenças descendentes até à ordem 
 com o máximo de nós de interpolação possíveis e usamos a fórmula
onde
pn n f, n + 1
, … , ∈ [a, b].x0 xn f n + 1 [a, b] x ∈ [a, b]
| (x)| = |f(x) − (x)| ≤ × |x − | × ⋯ × |x − |,en pn
M
(n + 1)!
x0 xn
M = | (x)|.max
x∈[a,b]
f (n+1)
n + 1 f
n + 1 [a, b]. f
f
f.
f [a, b] , … , ∈ [a, b]x0 xn n + 1 f
n [a, b], ξ ∈ [a, b]
f[ , … , ] = .x0 xi
(ξ)f (i)
i!
pn n f, [a, b] n + 1
, x … , ∈ [a, b].x0 xn f n [a, b], x ∈ [a, b]
| (x)| = |f(x) − (x)| ≈ |f[ , … , ]| × |x − | × ⋯ × |x − |.en pn max
i
xi xi+n+1 x0 xn
n + 1 n + 1
n + 1
n + 1 M/(n + 1)!.
n + 1
| (x)| = |f(x) − (x)| ≈ × |x − | × ⋯ × |x − |en pn
M
(n + 1)!hn+1
x0 xn
M = | |.max
i
Δn+1i
https://mito.ipleiria.pt/mod/book/view.php?id=1513&chapterid=1518
/
 9.1. Exemplo 1
Exemplo 1: Calcule um valor aproximado de por interpolação linear (grau 1) e por interpolação quadrática (grau 2), sabendo que
a função se encontra tabelada da seguinte forma
Determine ainda um majorante para o erro absoluto de interpolação em cada caso.
Resolução:
1.º caso: interpolação linear
Como usaremos apenas os nós e para a interpolação linear, uma vez que são os nós mais próximos. Assim, o
polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas é
e, portanto,
Usando a estimativa do erro de interpolação temos
onde
porque é uma função estritamente decrescente. Assim, o erro absoluto é majorado por
Sendo o valor exato o erro absoluto cometido é
que é inferior ao majorante que tínhamos calculado.
2.º caso: interpolação quadrática
Para utilizar interpolação quadrática precisamos de nós. Vamos considerar os três nós mais próximos de que são e 
 Podemos construir a tabela das diferenças descendentes associada a estes três nós: 
Logo, o polinómio interpolador de Newton com diferenças descendentes é dado por
Assim, temos 
Usando a estimativa do erro de interpolação temos
onde
ln(2.3)
f(x) = ln(x)
xi 1 2 3 4
ln( )xi 0 0.6931 1.0986 1.3863
x = 2.3 ∈ [2, 3], 2 3
(x)p1 =
=
=
f(2) + f[2, 3](x − 2)
0.6931 + (x − 2)
1.0986 − 0.6931
3 − 2
0.6931 + 0.4055(x − 2)
ln(2.3) ≈ (2.3) ≈ 0.8148.p1
| ln(2.3) − (2.3)| ≤ |2.3 − 2||2.3 − 3|p1
M
2!
M = |(ln(x) | = − = =max
x∈[2,3]
)′′ max
x∈[2,3]
∣
∣
∣
1
x2
∣
∣
∣ max
x∈[2,3]
1
x2
1
4
y =
1
x2
| ln(2.3) − (2.3)| ≤ = 0.02625.p1
0.3 × 0.7
2 × 4
ln(2.3) ≈ 0.8321,
| ln(2.3) − (2.3)| ≈ |0.8321 − 0.8148| = 0.0173p1
3 2.3 = 1, = 2x0 x1
= 3.x2
xi f( )xi Δ1i Δ
2
i
1 0
0.6931
2 0.6931 −0.2876
0.4055
3 1.0986
(x) = 0 + (x − 1) − (x − 1)(x − 2).p2
0.6931
1! × 1
0.2876
2! × 12
ln(2.3) ≈ (2.3) = 0.8449.p2
| ln(2.3) − (2.3)| ≤ |2.3 − 1||2.3 − 2||2.3 − 3|p2
M
3!
M = |(ln(x) | = = = 2max
x∈[1,3]
)′′′ max
x∈[1,3]
∣
∣
∣
2
x3
∣
∣
∣ max
x∈[1,3]
2
x3
/
porqueé uma função estritamente decrescente. Assim, o erro absoluto é majorado por
Sendo o valor exato o erro absoluto cometido é
que é inferior ao majorante que tínhamos calculado.
Nota: Se construirmos a tabela das diferenças divididas com todos os nós da tabela e utilizarmos a estimativa da secção anterior com o
máximo das diferenças divididas de ordem obteríamos
o que mostra que este valor não é um majorante do erro absoluto já que o erro absoluto exato é Confirme este resultado!
y =
2
x3
| ln(2.3) − (2.3)| ≤ = 0.091.p2
2 × 1.3 × 0.3 × 0.7
6
ln(2.3) ≈ 0.8321,
| ln(2.3) − (2.3)| ≈ |0.8321 − 0.8449| = 0.0128p2
3
| ln(2.3) − (2.3)| ≈ |2.3 − 1||2.3 − 2||2.3 − 3| ≈ 0.00773p2
0.1689
3!
0.0128.
/
 9.2. Exemplo 2
Exemplo 2: Na tabela seguinte está representada a velocidade de queda de um paraquedista em alguns instantes de tempo.
tempo (s)
velocidade (m/s)
a) Determine uma aproximação do valor da velocidade do paraquedista no instante de tempo s, utilizando um polinómio interpolador
de grau 
b) Calcule uma estimativa do erro absoluto cometido na alínea anterior.
Resolução:
Começamos por efetuar as seguintes mudanças de variáveis: tempo e velocidade 
a) Vamos considerar os nós mais próximos de que são e para realizar interpolação quadrática. Começamos por construir a
tabela das diferenças divididas destes 3 nós:
Assim, o polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas é
e, portanto,
b) Para determinar uma estimativa do erro absoluto de interpolação cometido, uma vez que a função é dada na forma de tabela, temos de
considerar os nós e e aumentar a tabela das diferenças divididas para obtermos diferenças divididas de ordem 
 
 
Assim, temos a seguinte estimativa do erro de interpolação:
Nota: Se adicionarmos os nós adicionais no final da tabela obtemos outra estimativa do erro porque as diferenças divididas de ordem 3 são
diferentes.
 
 
Teríamos a seguinte estimativa do erro de interpolação:
1 2 5 7 10
8.1 13.4 28.7 38.5 55.3
t = 8
3.
→ x → f(x).
3 x = 8 5, 7 10
xi f( )xi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅]
5 28.7
4.9
7 38.5 0.14
5.6
10 55.3
(x)p2 =
=
f(5) + f[5, 7](x − 5) + f[5, 7, 10](x − 5)(x − 7)
28.7 + 4.9(x − 5) + 0.14(x − 5)(x − 7)
f(8) ≈ (8) ≈ 43.82 m/s.p2
x = 1 x = 2 3 :
xi f( )xi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
1 8.1
5.3
2 13.4 −0.05
5.1 0.0017
5 28.7 −0.04
4.9 0.018
7 38.5 0.14
5.6
10 55.3
|f(8) − (8)|p2 ≈
=
=
|f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]||8 − 5||8 − 7||8 − 10|max
i
0.018 × 3 × 1 × 2
0.108.
xi f( )xi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
5 28.7
4.9
7 38.5 0.14
5.6 0.02018
10 55.3. 0.05927
5.2444 0.01324
1 8.1 −6.95 × 10−3
5.3
2 13.4
/
|f(8) − (8)|p2 ≈
=
=
|f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]||8 − 5||8 − 7||8 − 10|max
i
0.02018 × 3 × 1 × 2
0.12108.
/
 9.3. Exemplo 3
Exemplo 3: Seja a função conhecida nos seguintes pontos.
Determine uma estimativa para usando um polinómio interpolador de grau e uma estimativa do erro absoluto de interpolação
cometido.
Resolução:
Considerando todos os pontos de interpolação a tabela das diferenças divididas é:
 
 
Pretendemos usar um polinómio de grau para estimar Para isso temos de considerar os nós de interpolação mais próximos de 
 ou seja, e A partir da tabela obtemos o seguinte polinómio interpolador de grau 
donde,
Para determinar uma estimativa do erro absoluto de interpolação cometido temos:
f
xi 0 1.5 3 4.5 6
f( )xi 0.3214 1.4576 1.7586 2.1957 2.4983
f(3.5) 2
xi f( )xi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
0 0.3214
0.7575
1.5 1.4576 −0.1856
0.2007 0.04796
3 1.7586 0.0302
0.2914 −0.01336
4.5 2.1957 −0.0299
0.2017
6 2.4983
2 f(3.5). 3
3.5, = 1.5, = 3x0 x1 = 4.5.x2 2
(x)p2 = 1.4576 + 0.2007(x − 1.5) + 0.0302(x − 1.5)(x − 3)
f(3.5) ≈ (3.5) = 1.8892.p2
|f(3.5) − (3.5)|p2 ≈
=
≈
max |f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]||3.5 − 1.5||3.5 − 3||3.5 − 4.5|
0.04796 × 2 × 0.5 × 1.0
0.04796.
/
10. Exemplo de convergência não uniforme
Questão: Será que ao aumentar o número de pontos do suporte de interpolação num certo intervalo o polinómio interpolador
obtido melhora as estimativas da função?
A resposta à questão é um pouco delicada. Para escolhidos criteriosamente e funções regulares, o erro de interpolação
decresce à medida que aumenta. Para algumas funções a sequência dos polinómios obtidos é convergente para todos os argumentos 
Para outras funções essa convergência é limitada a um intervalo restrito. Nesta situação, o erro de interpolação tende para zero na parte
central do intervalo considerado e tende a oscilar fortemente nos extremos desse mesmo intervalo. Este comportamento é conhecido como
fenómeno de Runge e é uma severa restrição ao uso de polinómios interpoladores com grau elevado. Um exemplo clássico de não
convergência uniforme foi descoberto por Runge e consiste em interpolar a função
por um polinómio de grau usando os nós equidistantes
Na applet seguinte pode ver o fenómeno de Runge associado à função descrita. À medida que o grau do polinómio interpolador
aumenta, o erro de interpolação tende para zero na parte central do intervalo considerado e tende a oscilar fortemente nos extremos desse
mesmo intervalo, constituindo uma má aproximação perto dos extremos do intervalo. Arraste o seletor do grau do polinómio
interpolador e veja o que acontece.
Como vimos na Secção 9 o erro de interpolação é majorado por
Para melhorar o erro de interpolação podemos escolher os nós que minimizam a quantidade
No caso particular do intervalo a resposta a esta questão é dada pelos nós de Chebychev, que são definidos através da sequência
Assim, se tivermos a liberdade de escolher os nós então os nós de Chebychev são a melhor escolha para a interpolação polinomial. No
entanto, na prática tal não é possível em geral.
Na applet seguinte podemos observar que escolhendo os nós de Chebychev o fenómeno de Runge observado anteriormente desaparece. 
, … ,x0 xn f
n f x.
f(x) = , x ∈ [−1, 1]
1
1 + 25x2
≤ n, n + 1
= −1 + , k = 0, 1, … , n.xk
2k
n
f
n,
|f(x) − (x)| ≤ | (x)| × |(x − ) … (x − )|.pn
1
(n + 1)!
max
x∈[ , ]x0 xn
f (n+1) x0 xn
, … ,x0 xn
|(x − ) … (x − )|.max
x∈[ , ]x0 xn
x0 xn
[−1, 1]
= cos( ), i = 0, … , n − 1.xi
(2i + 1)π
2n
/
/
11. Interpolação inversa
O problema da interpolação inversa consiste em determinar, a partir de uma tabela de valores de uma função o valor do argumento que
corresponde a um dado valor de Se a função for invertível num intervalo (caso em que a função é estritamente crescente ou
decrescente nesse intervalo), então o problema da interpolação inversa consiste em dado o valor determinar o valor tal que
A maneira mais usual de resolução do problema da interpolação inversa é por inversão de tabela. Considerando o suporte de interpolação 
 isto é, trocando o papel dos nós com os dos valores nodais e assumindo que existirá
um polinómio interpolador que interpola a função inversa Para a obtenção do polinómio interpolador pode-se escolher
qualquer dos métodos indicados. Como em geral, os valores nodais não são igualmente espaçados usamos a fórmula
interpoladora de Newton com diferenças divididas.
Nos casos práticos em que da função só se conhecem os valores tabelados, admitimos que
a função é estritamente crescente se
a função é estritamente decrescente se
 
f,
f. f
c, x
f(x) = c.
( , ) = ( , ( )), 0 ≤ i ≤ n,yi xi yi f −1 yi ≠yi yj (i ≠ j)
(y)pn x = (y).f −1
, , … ,y0 y1 yn
f
f
< < … < ;y0 y1 yn
f
> > … > .y0 y1 yn
/
 11.1. Exemplo 1
Exemplo: Dada a função conhecida nos seguintes pontos
determinar um valor aproximado para 
Resolução:
No intervalo a função é estritamente crescente, logo invertível. A função inversa é A tabela de interpolação de 
obtém-se trocando os nós e os valores nodais da tabela da dada, ou seja, é dada por
A tabela de diferenças divididas da tabela de interpolação anterior é:
 
O polinómio interpolador de grau da função inversa nos nós e é dado por: 
 
e, portanto,
Note-se que o valor exato é 
f(x) = x2
xi 1 2 3 4
f( )xi 1 4 9 16
.11
−−√
[1, 4] f (y) = .f −1 y√ f
−1
=fi yi 1 4 9 16
=( )xi f −1 yi 1 2 3 4
yi xi [⋅, ⋅]f
−1 [⋅, ⋅, ⋅]f −1
1 1
0.3333
4 2 −0.0167
0.2000
9 3 −0.0048
0.1429
16 4
2 4, 9 16
(y)p2 = 2 + 0.2(y − 4) − 0.0048(y − 4)(y − 9)
11
−−
√ ≈
=
(11) = 2 + 0.2(11 − 4) − 0.0048(11 − 4)(11 − 9)p2
3.3328.
≈ 3.3166.11
−−√
/
 11.2. Exemplo 2
Exemplo 2: Na tabela seguinte está representada a velocidade de queda de um paraquedista em alguns instantes de tempo.
tempo (s)
velocidade (m/s)
a) Determine uma aproximação do instante de tempo em que o paraquedista atingiu a velocidade de m/s, utilizando um polinómio
interpolador de grau 
b) Calcule uma estimativa do erro absoluto cometido na alínea anterior.
Resolução:
Começamos por efetuar as seguintes mudanças de variáveis: tempo e velocidade 
a) Queremos determinar o valor de tal que ou seja, queremos aproximar o valor de um objeto dada a sua imagem pela
função.
Como os dados sugerem a função é estritamente crescente no intervalo (e contínua) logo invertível pelo que podemos realizar
interpolação inversa no intervalo Começamos por construir a tabela das diferenças divididas para a função inversa. Vamos utilizar
todos os nós porque na alínea b) temos de estimar o erro de interpolação a partir da tabela das diferenças divididas.
Assim, o polinómio interpolador de Newton de grau com diferenças divididas considerando os primeiros 4 nós é dado por:
e, portanto,
b) Temos a seguinte estimativa do erro de interpolação
1 2 5 7 10
8.1 13.4 28.7 38.5 55.3
20
3.
→ x → f(x).
x f(x) = 20,
[1, 10],
[1, 10].
yi xi [⋅, ⋅]f
−1 [⋅, ⋅, ⋅]f −1 [⋅, ⋅, ⋅, ⋅]f −1 [⋅, ⋅, ⋅, ⋅, ⋅]f −1
8.1 1
0.1887
13.4 2 3.5922 × 10−4
0.1961 −1.3319 × 10−6
28.7 5 3.1873 × 10−4 −6.1767 × 10−7
0.2041 −3.0486 × 10−5
38.5 7 −9.5865 × 10−4
0.1786
55.3 10
3
(y)p3 = 1 + 0.1887(y − 8.1) + 3.5922 × (y − 8.1)(y − 13.4)10
−4
− 1.3319 × (y − 8.1)(y − 13.4)(y − 28.7)10−6
(20) ≈ (10) ≈ 3.27s.f −1 p3
| (20) − (20)|f −1 p3 ≈
=
=
| [⋅, ⋅, ⋅, ⋅, ⋅]||20 − 8.1||20 − 13.4||20 − 28.7||20 − 38.5|max
i
f −1
6.1767 × × 11.9 × 6.6 × 8.7 × 18.510−7
7.808 × .10−3
/
 11.3. Exemplo 3
Exemplo 3: Determine uma aproximação para o zero da função definida por
no intervalo 
Resolução:
O gráfico da função está representado a seguir.
A partir do gráfico podemos concluir que a função dada é estritamente crescente no intervalo logo possui inversa neste intervalo.
Além disso, a função muda de sinal e, portanto, existe um único zero em Assim, podemos aplicar a interpolação inversa. Para
isso consideramos, por exemplo, os seguintes pontos de interpolação:
Para obter o polinómio interpolador da função inversa vamos construir a tabela das diferenças divididas, mudando os papéis dos pontos de
interpolação. Assim, temos 
O polinómio interpolador (de grau ) de é
Portanto,
f
f(x) = − + 2ex x2
[−2, −1].
f
[−2, −1],
[−2, −1].
xi −2.0 −1.8 −1.4
f( )xi −1.8647 −1.0747 0.2866
f( )xi xi [⋅, ⋅]f
−1 [⋅, ⋅, ⋅]f −1
−1.8647 −2.0
0.2532
−1.0747 −1.8 0.0189
0.2938
0.2866 −1.4
≤ 2 f −1
(y) = −2 + 0.2532(y + 1.8647) + 0.0189(y + 1.8647)(y + 1.0747).p2
x = (0) ≈ (0) = −1.48998.f −1 p2
https://mito.ipleiria.pt/mod/book/tool/print/index.php?id=1499
/
12. Polinómio interpolador de Hermite
O objetivo da interpolação polinomial de Hermite é encontrar um polinómio que interpole não só os valores da função mas também os
valores da sua primeira derivada em alguns pontos dados. Dados nós distintos o polinómio interpolador de Hermite
tem de satisfazer as condições seguintes:
O resultado seguinte garante a existência e unicidade do polinómio interpolador de Hermite.
 Teorema (polinómio interpolador de Hermite):
Sejam e nós distintos de Então existe um único polinómio de grau tal que 
Tal polinómio é dado por 
onde
e 
com 
O teorema anterior dá-nos uma maneira de calcular o polinómio interpolador de Hermite utilizando os polinómios de Lagrange. No
entanto, em termos computacionais a sua aplicação é dispendiosa. Vamos ver um processo alternativo utilizando as diferenças divididas de
Newton.
A tabela das diferenças divididas que vamos utilizar na construção do polinómio interpolador de Hermite é uma adaptação da tabela das
diferenças divididas utilizada na construção do polinómio interpolador de Newton com diferenças divididas, em que as três primeiras
colunas têm uma construção especial. Por exemplo, nas duas primeiras colunas os nós aparecem repetidos aos pares e na terceira coluna
aparecem os valores da derivada de nos nós e as diferenças divididas de ordem de acordo com a seguinte tabela:
A partir da tabela anterior, o polnómio interpolador de Hermite é construído a partir dos elementos da primeira diagonal da tabela, de
acordo com a expressão seguinte:
Uma expressão para o erro cometido pelo polinómio interpolador de Hermite é dada pelo seguinte resultado:
n + 1 , , … , ,x0 x1 xn
2n + 2
p( ) = f( ) e ( ) = ( ), (i = 0, 1, … , n).xi xi p
′ xi f
′ xi
f ∈ [a, b]C 1 , , … ,x0 x1 xn n + 1 [a, b]. ,H2n+1 ≤ 2n + 1,
( ) = f( ) e ( ) = ( ), (i = 0, 1, … , n).H2n+1 xi xi H ′2n+1 xi f
′ xi
(x) = f( ) (x) + ( ) (x)H2n+1 ∑
i=0
n
xi hi ∑
i=0
n
f ′ xi ĥi
(x) = (1 − 2 ( )(x − ))[ (x)hi L′i xi xi Li ]
2
(x) = (x − )[ (x)ĥi xi Li ]
2
(x) = (i = 0, 1, … , n).Li ∏
j=0,j≠i
n x − xj
−xi xj
f 1,
xi fi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅] ⋯
x0 f0
( )f ′ x0
x0 f0 f[ , , ]x0 x0 x1
f[ , ]x0 x1 f[ , , , ]x0 x0 x1 x1
x1 f1 f[ , , ]x0 x1 x1 ⋯
( )f ′ x1 ⋯
x1 f1 ⋯ ⋯
⋯ f[ , , , ]xn−1 xn−1 xn xn
⋯ ⋯ f[ , , ]xn−1 xn xn
( )f ′ xn
xn fn
(x)H2n+1 = f( ) + ( )(x − ) + f[ , , ](x − + f[ , , , ](x − (x − )x0 f
′ x0 x0 x0 x0 x1 x0)
2 x0 x0 x1 x1 x0)
2 x1
+ f[ , , , , ](x − (x − + ⋯ +x0 x0 x1 x1 x2 x0)
2 x1)
2
f[ , , , , … , , ](x − ⋯ (x − (x − )x0 x0 x1 x1 xn xn x0)
2 xn−1 )
2 xn
/
Teorema:Seja o polinómio de Hermite de grau interpolador de uma função e nos nós distintos 
 Se tem derivadas contínuas até à ordem em então o erro absoluto de interpolação é majorado por
onde
Na prática também podemos utilizar as diferenças divididas para estimar o erro absoluto, tal como foi feito no caso do polinómio
interpolador de Newton.
H2n+1 ≤ 2n + 1, f f ′ n + 1
, , … , ∈ [a, b].x0 x1 xn f 2n + 1 [a, b],
| (x)| = |f(x) − (x)| ≤ |x − |x − … |x − , ∀x ∈ [a, b]en H2n+1
M
(2n + 2)!
x0|
2
x1|
2
xn |
2
M = | (x)|.max
x∈[a,b]
f 2n+2
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 12.1. Exemplo 1
Exemplo 2.12.1.1 Vamos determinar o polinómio interpolador de Hermite de menor grau que interpola a função no intervalo
 ou seja, o polinómio que interpola a seguinte tabela de valores
As diferenças divididas constam na tabela seguinte:
O polinómio interpolador de Hermite é dado por 
 
Nos gráficos seguintes é possível ver a interpolação e aproximação de e pelos polinómios e 
Fig. 1: Gráfico das funções e em 
f(x) = sin x
[0, ] ,π
2
H3
xi f( ) = sin( )xi xi ( ) = cos( )f ′ xi xi
0 0 1
π
2
1 0
xi fi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
0 0
(0) =f ′ −1
0 0 =
0.6366 − 1
− 0π
2
−0.2313
= 0.6366
1 − 0
− 0π
2
=
−0.4053 + 0.2313
− 0π
2
−0.1108
π
2
1 = −0.4053
0 − 0.6366
− 0π
2
( ) = 0f ′
π
2
π
2
1
(x)H3 =
=
0 + 1(x − 0) − 0.2313(x − 0 − 0.1108(x − 0 (x − ))2 )2 π
2
x − 0.2313 − 0.1108 (x − ) .x2 x2 π
2
f f ′ H3 .H ′3
f H3 [− , π] .
π
2
https://mito.ipleiria.pt/mod/book/tool/print/index.php?id=1499
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Fig. 2: Gráfico das funções e em 
Vamos obter aproximações para e Temos 
Como então temos 
f ′ H ′3 [− , π] .
π
2
f(1) (1).f ′
f(1) ≈ (1) = 1 − 0.2313 − 0.1108 (1 − ) = 0.8319.H3
π
2
(x) = 1 − 0.4626x − 0.3324 + 0.2216 × × xH ′3 x
2 π
2
(1) ≈ (1) = 0.5531.f ′ H ′3
/
 12.2. Exemplo 2
Exemplo 2.12.2.1 Dada a seguinte tabela de valores de uma função
vammos determinar o polinómio interpolador de Hermite que interpola os valores dados e obter aproximações para e .
Começamos por calcular as diferenças divididas, as quais são tabeladas da seguinte forma:
Assim, o polinómio interpolador de Hermite é dado por 
Vamos agora obter aproximações para e Temos 
Como então temos 
xifi f ′i
−1 −4 9
0 −1 0
1 −2 1
f(0.5) (0.5)f ′
xi fi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
−1 −4
9
−1 −4 −6
3 3
0 −1 −3 −1
0 1 1
0 −1 −1 1
−1 3
1 −2 2
1
1 −2
(x)H5 =
=
− 4 + 9(x + 1) − 6(x + 1 + 3(x + 1 (x − 0) − 1(x + 1 (x − 0)2 )2 )2 )2
+ 1(x + 1 (x − 0 (x − 1))2 )2
− 2 − 1.x5 x2
f(0.5) (0.5).f ′
f(0.5) ≈ (0.5) = − 2 × − 1 = −1.46875.H5 0.5
5 0.52
(x) = 5 − 4xH ′5 x
4
(0.5) ≈ (0.5) = 5 × − 4 × 0.5 = −1.6875.f ′ H ′5 0.5
4
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 12.3. Exemplo 3
Exemplo 2.9.2.1 Seja a função conhecida nos seguintes pontos:
Pretendemos determinar uma estimativa para usando um polinómio interpolador de Hermite e obter uma estimativa do erro
absoluto de interpolação cometido.
Usando todos os pontos de interpolação, a tabela das diferenças divididas é:
 
O polinómio interpolador de Hermite é 
donde,
Para determinar uma estimativa do erro absoluto de interpolação cometido, temos:
onde
Assim, a estimativa do erro cometido é 
f(x) = ln x
xi 1 2
f( ) = ln( )xi xi 0 0.6931
( ) =f ′ xi
1
xi
1 0.5
ln(1.6)
xi fi f[⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅] f[⋅, ⋅, ⋅, ⋅]
1 0
1
1 0 −0.3069
0.6931 0.1138
2 0.6931 −0.1931
0.5
2 0.6931
(x)H3 = 0 + 1(x − 1) − 0.3069(x − 1 + 0.1138(x − 1 (x − 2))
2 )2
f(1.6) ≈ (1.6) = 0.4731.H3
| (1.6)| = | ln(1.6) − (1.6)|e3 H3 ≤ |1.6 − 1 |1.6 − 2
M
4!
|2 |2
M = (ln x = − = 6.max
x∈[1,2]
∣∣ )
(4) ∣∣ max
x∈[1,2]
∣
∣
∣
6
x4
∣
∣
∣
| (1.6)| ≤ = 0.0144.e3
6 × 0.36 × 0.16
4!