Determine a função y = y(x), x ∈ R, tal que y” = x + 1, y(0) = 1, y’(0) = 0.

Seja Y'' = X + 1, sua primitiva é Y' = (X^2)/2 + X + C1 ----> C1 é a primeira constante de integração

Como foi enunciado: y'(0) = 0, subistituindo: Y'(0) = (0^2)/2 + 0 + C ----> C1 = 0 o que denota em y'(x) = (X^2)/2 + X

Encontrando a primitiva de y', integra-se:

[(X^2)/2 + X] o que resulta em y(x) = (X^3)/6 + (X^2)/2 + C2 ----> C2 é a segunda constante de integração

Se y(0) = 1, logo subistituindo o valor 0 na função y(x): (0^3)/6 + (0^2)/2 + C2 = 1 ------> C2 = 1

Portanto: y(x) =  (X^3)/6 + (X^2)/2 + 1 (Resposta final)

Espero ter ajudado! Bons estudos

Para encontrarmos a função y(x) devemos integrar 2 vezes a segunda derivada dessa função:

\(\int (x+1)dx=\frac{x^2}{2}+x+c=y'\)

em que c é uma constante

Aplicando o dado fornecido pelo exercicio: y'(0)=0

\(y'=\frac{x^2}{2}+x+c=y'(0)\rightarrow\frac{0^2}{2}+0+c=0 \rightarrow c=0\)

Integrando y' temos:

\(\int (\frac{x^2}{2}+x)dx=\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+k=y(x)\)

em que k é uma constante

Aplicando o dado fornecido pelo exercicio: y(0)=1:

\(y=\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+k\rightarrow y(0)=\frac{0^3}{6}+\frac{0^2}{2}+k=1\rightarrow k=1\)

Portanto temos:

\( y(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+1\)