Para encontrarmos a resposta da equação dada, realizaremos os cálculos abaixo:
\(\begin{align} & dydx=yx+1 \\ & \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x+1} \\ & dy\left( \frac{1}{y} \right)=dx\left( \frac{1}{x+1} \right) \\ & \ln y=dx\left( \frac{1}{x+1} \right) \\ & ~lny=ln|x+1| \\ \end{align}\ \)
Portanto, obtemos a seguinte relação:
\(\begin{align} & ~lny=ln|x+1| \\ \end{align}\)
A equação é linear de primeira ordem. Pra resolver, primeiro escreva na forma . Depois encontr o fator integrante:
ρ(x) = exp(∫(-x) dx) = exp(-x²/2) ...(1)
Multiplique a equação y' - xy = 1 pelo fator integrante ρ(x) e ela ficará exp(-x²/2)y' - x·exp(-x²/2)y = exp(-x²/2), sendo que o lado esquerdo pode ser escrito agora como a derivada de um produto de duas funções:
[exp(-x²/2)y]' = exp(-x²/2) ...(2)
O passo seguinte é a integração de ambos os lados (lembrando que, no lado esquerdo, você estará integrando uma derivada). Isso dá
exp(-x²/2)y = ∫exp(-x²/2) dx + C ...(3)
onde C é a constante de integração. A integral de exp(-x²/2) deve ser expressa em termos da função erro, que é definida por
erf(x) = (2/√π)∫exp(-t²) dt ...(4)
Os limites dessa integral vão de 0 a x. Primeiro faça a mudança de variável t=x/2 na integral em (3). Ela fica
∫exp(-x²/2) dx → √2∫exp(-t²) dt ...(5)
Então, comparando (5) com a definição da função erro, você conclui que
√2∫exp(-t²) dt → (√π)/(√2)erf(x/√2) ...(6)
Agora substitua (6) em (3)
exp(-x²/2)y = (√π)/(√2)erf(x/√2) + C
e depois multiplique ambos os lados por exp(-x²/2) para isolar y, e a resposta vai ser
y = [(√π)/(√2)erf(x/√2) + C]exp(x²/2).
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