Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Numérico, mais especificamente sobre o Método da Falsa Posição.

O Método da Falsa Posição inicia-se de um intervalo inicial \([a,b]\) em que \(f(a)\) e \(f(b)\) possuem sinais opostos, o que garante a existência de pelo menos uma raiz no intervalo \([a,b]\) pelo Teorema do Valor Intermediário. Com a aplicação do método, obtém-se a cada iteração um intervalo menor \([a_k,b_k]\), que ainda contenha a raiz. Na \(k\)-ésima iteração, a raiz é dada por:

\(x_k=\dfrac{a_kf(b_k)-b_kf(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)}\) 

Para o problema em questão, tem-se que:

\(\begin{align} f(1)&=1^3-2\cdot 1 \\&=1-2 \\&=-1 \\ \\ f(3)&=3^3-2\cdot3 \\&=27-6 \\&=21 \end{align}\)

Logo, o valor da raiz após a primeira iteração é:

\(\begin{align} x_1&=\dfrac{1\cdot f(3)-3\cdot f(1)}{f(3)-f(1)} \\&=\dfrac{1\cdot 21-3\cdot(-1)}{21-(-1)} \\&=\dfrac{21+3}{22} \\&=\dfrac{24}{22} \\&=1,\overline{09} \end{align}\)

Portanto, o valor da raiz após a primeira iteração é \(\boxed{x_1=1,\overline{09}}\).

nao sei