Sejam p e q dois números primos tais que p >= q >= 5. Mostre que [(p^2) - (q^2)] é congruente a zero módulo 24

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Nesse exercício vamos estudar matemática discreta, particularmente congruência de números inteiros.

Vamos mostrar que para \(p\geq q\geq 5\) primos \(p^2-q^2\) é sempre múltiplo de 24. Para tal, vamos usar diferença de quadrados para fatorar a expressão:

\(p^2-q^2=(p-q)(p+q)\)

Para os ímpares, temos duas possibilidades de resto na divisão por 4:

\(r\in\{4k+1,4k+3\}\)

Vamos tomar as 4 possibilidades para o nosso par de primos:

• \(p=4k_1+1 \land q=4k_2+1\Rightarrow p+q=4(k_1+k_2)+2\land p-q=4(k_1-k_2)\)
• \(p=4k_1+1 \land q=4k_2+3\Rightarrow p+q=4(k_1+k_2+1)\land p-q=4(k_1-k_2)-2\)
• \(p=4k_1+3 \land q=4k_2+1\Rightarrow p+q=4(k_1+k_2+1)\land p-q=4(k_1-k_2)+2\)
• \(p=4k_1+3 \land q=4k_2+3\Rightarrow p+q=4(k_1+k_2+1)+2\land p-q=4(k_1-k_2)\)

Em todos os casos o produto é múltiplo de 8. Para o resto da divisão por 3, temos:

\(r\in\{3k+1,3k+2\}\)

Para as possibilidades de soma e subtração, temos:

• \(p=3k_1+1 \land q=3k_2+1\Rightarrow p+q=3(k_1+k_2)+2\land p-q=3(k_1-k_2)\)
• \(p=3k_1+1 \land q=3k_2+2\Rightarrow p+q=3(k_1+k_2+1)\land p-q=3(k_1-k_2)-1\)
• \(p=3k_1+2 \land q=3k_2+1\Rightarrow p+q=3(k_1+k_2+1)\land p-q=3(k_1-k_2)+1\)
• \(p=3k_1+2 \land q=3k_2+2\Rightarrow p+q=3(k_1+k_2+1)+1\land p-q=3(k_1-k_2)\)

Em todos os casos o produto é múltiplo de 3.

Obtemos que o produto da soma pela diferença é sempre múltiplo de 3 e de 8, de forma que é múltiplo de 24.

Concluímos, portanto, que:

\(\boxed{p^2-q^2\equiv0\ (mod\ 24)}\)