= 24∫12∫ (x^2 + y^2)dydx
= 24∫12 (x^2y + Y^3/3) dx
= 288 (x^32y)/3 + Y^3x/3)
= (576x^3y)/3 + (288y^3x)/3
= 192x^3y + 96xy^3
Esse exercicio é o caso de integral dupla e pode ser calculada utilizando o Teorema de Fubini
Primeiro, vamos resolver a integral mais interna em relação a \(y\), isto é:
\(\int 24 \int 12 (x² + y²) dydx\\ \int 24 \int [12 (x² + y²) dy]dx\)
Com isso, \(x\) passa a ser constante. Vamos integrá-la:
\(∫[12 (x² + y²) dy] = ∫12 (x² + y²) dy \\ ∫12 (x² + y²) dy = 12 [x² y+(\frac{y³}3)]\)
Agora substituimos na integral original
\(∫24 ∫12 (x² + y²) dydx = ∫24.12 [x² y+(\frac{y³}3)] dx\)
Agora vamos integrar em relação a \(X\) . Nesse caso \(y\) é constante:
\(∫24.12 [x² y+(\frac{y³}3)] dx= 288[ (\frac{x³}3)y+ (\frac{y³}3)x]\)
\(\frac{288}3 [ x³y+ y³x]\)
Portanto, \(\boxed{∫24 ∫12 (x² + y²) dydx=\frac{288}3 [ x³y+ y³x]}\)
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