unesp gabarito-p1

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1a Prova de Cálculo I, 30/04/2019
Q 1
Q 2
Q 3
Q 4
TOTAL
Nome: RA:
1. Considere a função f(x) = cos
(πx
4
)
− log2 x.
(a) Mostre que f(1) > 0 e que f(2) < 0.
(b) Justifique que f é uma função cont́ınua.
(c) Use o Teorema do valor intermediário para concluir que existe c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0.
Solução:
(0.5 pts)(a) Vamos calcular os valores de f(1) e f(2).
f(1) = cos
(
π
4
)
− log2 1 =
√
2
2
− 0 =
√
2
2
, e
f(2) = cos
(
2π
4
)
− log2 2 = cos
(
π
2
)
− 1 = 0 − 1 = −1.
Portanto, f(1) > 0 e f(2) < 0.
(0.5 pts)(b) Para vermos que f é uma função cont́ınua, observe que as funções cos e log são
funções cont́ınuas. Além disso, sendo h(x) =
πx
4
, segue que h também é uma
função cont́ınua, pois é uma função polinomial. Dessa forma, como composta
de funções cont́ınuas é cont́ınua, segue que cos
(
πx
4
)
é cont́ınua. Por fim, como
subtração de funções cont́ınuas é cont́ınua, segue que f é uma função cont́ınua.
(1.0 pt)(c) Do item (b), sabemos que f é uma função cont́ınua no intervalo [1, 2]. Além disso,
pelo item (a), obtemos que f(2) < 0 < f(1). Assim, pelo Teorema do Valor Inter-
mediário, existe ao menos um c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0.
2. (a) Calcule o limite lim
x→0
x2 cos
(
2
x
)
.
(b) A função f definida por f(x) =
{
x2 cos
(
2
x
)
se x 6= 0
0, se x = 0
é cont́ınua? Justifique a resposta.
Solução:
(1.0 pt)(a) Sabemos que −1 6 cos( 2
x
) 6 1, ∀x ∈ R∗. Assim, como x2 > 0, ∀x ∈ R, temos
−x2 6 x2 cos
(
2
x
)
6 x2.
Assim, como lim
x→0
−x2 = 0 = lim
x→0
x2, pelo Teorema do Confronto, segue que
lim
x→0
x2 cos
(
2
x
)
= 0.
(1.0 pt)(b) Primeiramente, observe que, para x 6= 0 a função f é cont́ınua.
De fato, as funções h(x) =
2
x
, g(x) = x2 e cos(x) são funções cont́ınuas.
Mais ainda, como composição de funções continuas é uma função cont́ınua e produto
de funções cont́ınuas é cont́ınua, segue que f é cont́ınua.
Portanto, para x 6= 0 a função f é cont́ınua.
Assim, basta verificar se f é cont́ınua no ponto x = 0, isto é, lim
x→0
f(x) existe e
lim
x→0
f(x) = f(0).
Pelo item (a) acima, sabemos que lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x2 cos
(
2
x
)
= 0 = f(0).
Logo, f é cont́ınua em x = 0.
Portanto f é uma função cont́ınua.
3. Calcule os limites abaixo e justifique as passagens indicando as propriedades do limite que
foram utilizadas.
(a) lim
x→−2
(3x4 + 2x2 − x+ 1)
(b) lim
x→0
(
1
x
√
1 + x
−
1
x
) (c) limx→3
x2 − 9
x2 + x− 12
(d) lim
x→0
tan(x)
7x
Solução:
Para a resolução dos limites, vamos utilizar as seguintes propriedades de limite. Sejam f e g
funções tais que lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x) existem e k ∈ R, então:
P1 : lim
x→a
[f(x)± g(x)] = lim
x→a
f(x)± lim
x→a
g(x);
P2 : lim
x→a
k · f(x) = k · lim
x→a
f(x);
P3 : lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x);
P4 : lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
, desde que lim
x→a
g(x) 6= 0;
P5 : lim
x→a
k = k;
P6 : lim
x→0
sen x
x
= 1.
(0.75 pts)(a) lim
x→−2
(3x4 + 2x2 − x + 1) = 3(−2)4 + 2(−2)2 − (−2) + 1 = 48 + 8 + 2 + 1 = 59.
Utilizamos as propriedades P1 e P2.
(0.75 pts)(b) lim
x→0
(
1
x
√
1 + x
−
1
x
)
= lim
x→0
1 −
√
1 + x
x
√
1 + x
= lim
x→0
(1 −
√
1 + x)(1 +
√
1 + x)
(x
√
1 + x)(1 +
√
1 + x)
= lim
x→0
12 − (
√
1 + x)2
x
√
1 + x+ x(
√
1 + x)2
= lim
x→0
1 − (1 + x)
x[
√
1 + x+ 1 + x]
= lim
x→0
−x
x[
√
1 + x+ 1 + x]
= lim
x→0
−1√
1 + x+ (1 + x)
=
−1√
1 + 0 + 1 + 0
= −
1
2
. Uti-
lizamos as propriedades P1 e P4.
(0.75 pts)(c) lim
x→3
x2 − 9
x2 + x− 12
= lim
x→3
(x− 3)(x+ 3)
(x− 3)(x+ 4)
= lim
x→3
x+ 3
x+ 4
=
3 + 3
3 + 4
=
6
7
. Utilizamos as
propriedades P1 e P4.
(0.75 pts)(d) lim
x→0
tan(x)
7x
= lim
x→0
senx
cosx
7x
= lim
x→0
sen x
7x cos x
= lim
x→0
[
1
7
(
sen x
x
)(
1
cos x
)]
=
1
7
. Utiliza-
mos as propriedades P2, P3, P4 e P6.
4. Considere a função definida por f(x) =

2x− 1 se x 6 1
x+ 1, se 1 < x 6 2
x2 + 2x− 8
2x− 4
, se 2 < x
(a) Faça o gráfico de f no domı́nio [−1, 4] sobre figura quadriculada abaixo.
(b) Determine se f é cont́ınua nos pontos x = 1 e x = 2. Justifique a sua resposta.
Solução:
(1.0 pt)(a) Precisamos analisar separadamente o gráfico de f nos intervalos [−1, 1], (1, 2] e (2, 4].
(i) Para x ∈ [−1, 1], f(x) = 2x − 1, ou seja, nesse intervalo o gráfico de f é
um segmento de reta. Vamos encontrar dois pontos para determinar este
segmento. Temos
f(−1) = 2(−1) − 1 = −3, e
f(1) = 2 · 1 − 1 = 1
Assim, este segmento de reta passa pelos pontos (−1, f(−1)) = (−1,−3) e
(1, f(1)) = (1, 1).
(ii) Para x ∈ (1, 2], f(x) = x + 1, que também é um segmento de reta. Vamos
encontrar dois pontos para determinar este segmento.
f(1) = 1 + 1 = 2, e
f(2) = 2 + 1 = 3. Assim, este segmento de reta passa pelos pontos (1, 2) e
(2, 3).
Note que, para x = 1 a expressão de f não é f(x) = x+ 1 e sim f(x) = 2x− 1.
Logo, o ponto (1, 2) não pertence ao gráfico de f.
(iii) Para x ∈ (2, 4], f(x) = x
2 + 2x− 8
2x− 4
. Fazendo uma fatoração, obtemos
f(x) =
x2 + 2x− 8
2x− 4
=
(x− 2)(x+ 4)
2(x− 2)
=
(x+ 4)
2
=
x
2
+ 2, que também é um
segmento de reta. Vamos encontrar dois pontos para determinar o segmento.
f(2) =
2
2
+ 2 = 3, e
f(4) =
4
2
+ 2 = 2 + 2 = 4.
Assim, este segmento de reta passa pelos pontos (2, 3) e (4, 4). Note que o
ponto x = 2 não está no domı́nio da função
x2 + 2x− 8
2x− 4
, mas o ponto (2, 3)
pertence ao gráfico de f pelo item anterior.
Portanto, o gráfico de f é
y
x
•
◦
−1 1 2 4
−1
2
3
4
(2.0 pts)(b) Primeiramente, vamos verificar se f é cont́ınua no ponto x = 1, isto é, lim
x→1
f(x)
existe e lim
x→1
f(x) = f(1).
Observe que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x+ 1 = 1 + 1 = 2, e
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
2x− 1 = 2.1 − 1 = 1.
Como lim
x→1+
f(x) 6= lim
x→1−
f(x), temos que lim
x→1
f(x) não existe.
Portanto f não é cont́ınua em x = 1.
Agora, verifiquemos se f é cont́ınua no ponto x = 2, isto é, lim
x→2
f(x) existe e
lim
x→2
f(x) = f(2).
Note que
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
x2 + 2x− 8
2x− 4
= lim
x→2+
(x+ 4)(x− 2)
2(x− 2)
= lim
x→2+
(x+ 4)
2
=
2 + 4
2
= 3,
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x+ 1 = 2 + 1 = 3, e
f(2) = 2 + 1 = 3.
Como, lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x), temos que lim
x→2
f(x) existe, mais ainda, lim
x→2
f(x) =
3 = f(2).
Portanto, f é cont́ınua em x = 2.