Questão resolvida - Qual o volume sólido limitado pelo paraboloide x² + y² + z = 12 e pelo plano z = 8_ - usando integral dupla - Cálculo II - PITÁGORAS

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Qual o volume sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano ?x² + y² + z = 12 z = 8
 
Resolução:
 
O volume do sólido usando integral dupla é dado por;
V = f x, y - f x, y dA
R
∫ ∫( 2( ) 1( ))
 é a curva que limita o solido por cima, neste caso é o paraboloide, é a 
curva 
f x, y2( ) f x, y1( )
que limita o sólido por baixo, neste caso o plano . Como podemos constatar na figura z = 8
abaixo:
Com isso, temos que;
 x² + y² + z = 12 z = 12 - x² - y² f x, y = 12 - x² - y²→ → 2( )
 
 
f x, y = z = 81( )
Dessa forma, a integral dupla fica;
V = f x, y - f x, y dA = 12 - x² - y² - 8 dA
R
∫ ∫( 2( ) 1( ))
R
∫ ∫( )
 
 
 
V = 4 - x² + y² dA
R
∫ ∫( ( ))
 Devemos passar as variáveis da integral para coordenadas polares, isso é feito com as 
substituições;
x = rcos 𝜃 , y = rsen 𝜃 e dA = rdrd𝜃( ) ( )
 
V = 4 - rcos 𝜃 ² + rsen 𝜃 ² rdrd𝜃
R
∫ ∫( ( ( )) ( ( )) ))
V = 4 - r ⋅ cos 𝜃 + r ⋅ sen 𝜃 rdrd𝜃
R
∫ ∫ 2 2( ) 2 2( )
V = 4 - r cos 𝜃 + sen 𝜃 rdrd𝜃 cos 𝜃 + sen 𝜃 = 1
R
∫ ∫( 2 2( ) 2( ) → 2( ) 2( )
 
V = 4 - r 1 rdrd𝜃 V = 4 - r rdrd𝜃
R
∫ ∫ 2( ) →
R
∫ ∫ 2
 
Devemos, agora, definir os limites de integração, fazemos, para isso, a intercessão entre o 
plano e o paraboloide;
 
12 - x² - y² = 8 -x² - y² = 8 - 12 - x² - y² = -4 × -1 x² + y² = 4→ → ( ) ( ) →
 
Perceba que a intercessão entre as curvas é um círculo de raio 2, como visto na sequência;
 
 
Como se trata de um paraboloide, as seções são círculares, indo de até para o r = 0 r = 2
caso desse sólido gerado, e, para varrer todo o círculo que delimita o sólido é preciso que o 
ângulo de integração vá de 0 a , com isso a intgeral iterada do volume fica;2𝜋
V = 4 - r rdrd𝜃 = 4r - r³ drd𝜃 = 2r² - d𝜃
0
∫
2𝜋 2
0
∫ 2
0
∫
2𝜋 2
0
∫ ( )
0
∫
2𝜋 r
4
4 2
0
 
V = 2 2 ² - - 2 ⋅ 0 - d𝜃 = 2 ⋅ 4 - d𝜃 = 8 - 4 d𝜃
0
∫
2𝜋
( )
2
4
( )4 0
4
( )4
0
∫
2𝜋 16
4 0
∫
2𝜋
( )
 
V = 4d𝜃 V = 4𝜃 V = 4 ⋅ 2𝜋- 4 ⋅ 0 V = 8𝜋 u. v.
0
∫
2𝜋
→
2𝜋
0
→ ( ) →
 
 
 
(Resposta)