Resolva a equação diferencial por transformada de Laplace y''-3y'-4y=2 sin t . Com f(0)=0 e f'(0)=2 Me ajudem por favor estou presa nessa questão

Neste caso você precisa transformar esta EDO em equação algébrica, ou seja, transformar t em s.

Após transformar, você resolve esta equação algébrica e usando a tabela das transformadas de LaPlace você vai chegar na Inversa, que é a solução.

Para y''-3y'-4y=2sin(t) com f(0)=0 e f'(0)=2 comece aplicando a transformada:

£{y''}-3*£{y'}-4*£{y}=2*£{sin(t)} Resolva isso e fica

s²F(s)-sf(0)-f'(0)-3[sF(s)-f(0)]-4F(s)=2/s*(1/s²+1) Aplica a condição Inicial aqui

s²F(s)-2-3sF(s)-4F(s)=2/s³+s aqui você separa F(s) de um lado e todo o restante para o outro lado da igualdade.

F(s)[s²-3s-4]=(2/s³+s)+2 

Nesta parte você vai ter que usar frações parciais e no final aplicar a transformada inversa.

O resultado da inversa é a resposta.

Sabendo que a Transformada de Laplace de \(y\) é \(\mathcal{L}(y) = Y\), as transformadas das derivadas são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \mathcal{L}(y') = sY - y(0) \\ \mathcal{L}(y'') = s^2Y - sy(0) - y'(0) \end{matrix} \right.\)

Consultando uma tabela de Transformada de Laplace, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \mathcal{L} (\sin wt) = {w \over s^2 + w^2}\)

Portanto, a Transformada de Laplace da equação diferencial fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \mathcal{L}( y'' - 3y' - 4y) = 2\mathcal{L} (\sin t)\)

\(\Longrightarrow [s^2Y - sy(0) - y'(0)] - 3[sY - y(0)] - 4Y = 2{1 \over s^2 + 1}\)

\(\Longrightarrow s^2Y - sy(0) - y'(0) - 3sY +3 y(0) - 4Y = {2 \over s^2 + 1}\)

\(\Longrightarrow Y( s^2-3s-4) - sy(0) - y'(0) +3 y(0) = {2 \over s^2 + 1}\)

Com \(y(0) = 0\) e \(y'(0) = 2\), a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow Y( s^2-3s-4) - s\cdot 0 - 2 +3 \cdot 0 = {2 \over s^2 + 1}\)

\(\Longrightarrow Y( s^2-3s-4) = {2 \over s^2 + 1}+2\)

\(\Longrightarrow Y = {2 \over (s^2 + 1)( s^2-3s-4)}+{2 \over s^2-3s-4}\)

\(\Longrightarrow Y = {2 \over (s^2 + 1)( s^2-3s-4)}+{2(s^2 + 1) \over (s^2 + 1)(s^2-3s-4)}\)

\(\Longrightarrow Y = {2s^2 + 4 \over (s^2 + 1)( s^2-3s-4)}\)

1.

Primeiro, vamos simplificar a expressão \(s^2 - 3s - 4\). Com \(a=1\), \(b=-3\) e \(c=-4\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow s = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow s = {3 \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot (-4)} \over 2 \cdot 1}\)

\(\Longrightarrow s = {3 \pm \sqrt{9+16} \over 2}\)

\(\Longrightarrow s = {3 \pm 5 \over 2}\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} s_1 = 4 \\ s_2 = -1 \end{matrix} \right.\)

Então, tem-se que:

\(\Longrightarrow s^2 - 3s - 4 = a(s-s_1)(s-s_2)\)

\(\Longrightarrow s^2 - 3s - 4 = (s-4)(s+1)\)

Portanto, a expressão de \(Y\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow Y = {2s^2 + 4 \over (s^2 + 1)( s-4)(s+1)}\)    \((I)\)

2.

Agora, pelo método de frações parciais, vamos simplificar o primeiro termo à direita da equação \((I)\). Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow {2s^2 + 4 \over (s^2 + 1) (s-4)(s+1)} ={As + B \over s^2 + 1} + {C \over s-4} + {D \over s+1}\)

\(\Longrightarrow {2s^2 + 4 \over (s^2 + 1) (s-4)(s+1)} = {(As + B)(s-4)(s+1) \over (s^2 + 1) (s-4)(s+1)} + {C(s^2 + 1)(s+1) \over (s^2 + 1) (s-4)(s+1)} + {D(s^2 + 1)(s-4) \over (s^2 + 1) (s-4)(s+1)}\)

\(\Longrightarrow 2s^2 + 4= (As + B)(s^2 - 3s-4) +C(s^3+s^2 + s + 1) + D(s^3-4s^2+s-4)\)

\(\Longrightarrow 2s^2 + 4= \Big (As^3 + s^2(-3A+B) + s(-4A-3B)-4B \Big )+C(s^3+s^2 + s + 1) + D(s^3-4s^2+s-4)\)

\(\Longrightarrow 2s^2 + 4=s^3 (A+C+D)+s^2(-3A+B+C-4D)+s(-4A-3B+C+D) + (-4B+C-4D)\)

Com base na equação anterior, tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+C+D=0 \\-3A+B+C-4D=2 \\ -4A-3B+C+D=0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-4B+C-4D = 4 \end{matrix} \right.\)     \(\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1 & -4 \\ -4 & -3 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & 1 & -4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}\)

Resolvendo o sistema através do site https://matrixcalc.org/pt/slu.html, tem-se que:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {3 \over 17} \\ {-5 \over 17} \\ {36 \over 85} \\ {-3 \over 5} \end{bmatrix}\)

Portanto, a equação \((I)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow Y = {2s^2 + 4 \over (s^2 + 1)( s-4)(s+1)}= {As + B \over s^2 + 1} + {C \over s-4} + {D \over s+1}\)

\(\Longrightarrow Y = {1 \over 17}{3s -5 \over s^2 + 1} + {36 \over 85}{1 \over s-4} -{3 \over 5} {1 \over s+1}\)

\(\Longrightarrow Y = {3 \over 17}{s \over s^2 + 1} - {5 \over 17}{1 \over s^2 + 1} + {36 \over 85}{1 \over s-4} -{3 \over 5} {1 \over s+1}\)

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, a função \(y(t)\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y(t) = {3 \over 17}\cos t - {5 \over 17}\sin t + {36 \over 85}e^{4t} -{3 \over 5} e^{-t} $}\)