Primeiramente, é preciso clarificar se "plano tridimensional" é realmente aquilo que se queria perguntar. Um plano não possui um vetor tangente, qualquer tentativa de se traçar um vetor tangênte a um plano, implicaria em um vetor que pertence ao plano, o mesmo ocorreria ao se tentar traçar um vetor tangente a uma reta, em um espaço bidimensional. Não se pode traçar um segmento reto que tangencia em um unico ponto, um objeto plano.

Agora se deseja calcular um vetor tangênte a uma superfície tridimensional, há várias formas de se fazer isso. Uma bem simples é através do conceito de derivada parcial. A derivada parcial nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente a curva, que é paralela a um dos planos coordenados. Em posse do coeficiente angular e de um ponto que passa por ela, é possível determinar a equação da reta tangênte, e qualquer vetor paralelo a essa reta, será tangênte a superfície.

Outra forma de se obter um vetor tangênte, é pegar qualquer vetor contido no plano tangênte a uma superfície, o que pode ser obtido através de uma técnica específica.