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Verificar para os vetores u = (4, −1, 2) e v = (−3, 2 − 2) as desigualdades: a) |u · v| ≤ |u||v| Desigualdade de Schwartz b) |u + v| ≤ |u| + |v| D..

desigualdade triangular

há 8 anos

há 8 anos

Respostas

RD Resoluções

há 7 anos

Primeiramente, calculemos o produto escalar $u\cdot v$ :

$(4, -1, 2)\cdot (-3, 2, -2)=4\cdot (-3)+(-1)\cdot 2+2 \cdot (-2)$

$(4, -1, 2)\cdot (-3, 2, -2)=-12- 2-4$

$(4, -1, 2)\cdot (-3, 2, -2)=-18$

Portanto: $|u\cdot v|=|-18|=18$

Agora, vamos encontrar o módulo de cada vetor:

$|u|=\sqrt{4^2+(-1)^2+2^2}$

$|u|=\sqrt{16+1+4}$

$|u|=\sqrt{21}$

$|v|=\sqrt{(-3)^2+2^2+(-2)^2}$

$|v|=\sqrt{9+4+4}$

$|v|=\sqrt{17}$

Portanto

$|u||v|=\sqrt{21}\cdot \sqrt{17}$

$|u||v|=\sqrt{21}\cdot \sqrt{17}=\sqrt{347}\approx 18.9$

Portanto

$|u \cdot v|\leq |u||v|$

Primeiramente, façamos a soma u+v:

$u + v=(4, -1, 2)+(-3, 2, -2)$

$u + v=(4-3,~ -1+2,~ 2-2)$

$u + v=(1,~ 1,~ 0)$

Agora, vamos tirar o seu módulo:

$|u + v|=\sqrt{1^2+~ 1^2+ 0^2}=\sqrt{2}$

E se $|u|=\sqrt{21}$ e $|v|=\sqrt{17}$ , temos

$|u| +| v|=\sqrt{21}+\sqrt{17}\approx 8,7$

Portanto:

$|u+v|\leq |u| +| v|$

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