como calcular matriz inversa?

A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n).

Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).

Assim, para encontrar a inversa de uma matriz, utiliza-se a multiplicação.

A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)

Exemplos de Matriz Inversa

Matriz Inversa 2x2

Matriz Inversa 3x3

Passo a Passo: Como Calcular a Matriz Inversa?

Sabemos que se o produto de duas matrizes é igual a matriz identidade, essa matriz possui uma inversa.

Observe que se a matriz A for inversa da matriz B, utiliza-se a notação: A-1.

Exemplo: Encontre a inversa da matriz abaixo de ordem 3x3.

Antes de mais nada, devemos lembrar que A . A-1 = I (A matriz multiplicada por sua inversa resultará na matriz identidade In).

Multiplica-se cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz.

Por conseguinte, multiplica-se os elementos da segunda linha da primeira matriz pelas colunas da segunda.

E por fim, a terceira linha da primeira com as colunas da segunda:

Fazendo a equivalência dos elementos com a matriz identidade, podemos descobrir os valores de:

a = 1

b = 0

c = 0

Sabendo esses valores, podemos calcular as outras incógnitas da matriz. Na terceira linha e primeira coluna da primeira matriz temos que a + 2d = 0. Portanto, vamos começar por encontrar o valor de d, pela substituição dos valores encontrados:

1 + 2d = 0

2d = -1

d = -1/2

Da mesma maneira, na terceira linha e segunda coluna podemos encontrar o valor de e:

b + 2e = 0

0 + 2e = 0

2e = 0

e = 0/2

e = 0

Continuando, temos na terceira linha da terceira coluna: c + 2f. Note que segunda a matriz identidade dessa equação não é igual a zero, mas igual a 1.

c + 2f = 1

0 + 2f = 1

2f = 1

f = ½

Passando para a segunda linha e a primeira coluna vamos encontrar o valor de g:

a + 3d + g = 0

1 + 3. (-1/2) + g = 0

1 – 3/2 + g = 0

g = -1 + 3/2

g = ½

Na segunda linha e segunda coluna, podemos encontrar o valor de h:

b + 3e + h = 1

0 + 3 . 0 + h = 1

h = 1

Por fim, vamos encontrar o valor de i pela equação da segunda linha e terceira coluna:

c + 3f + i = 0

0 + 3 (1/2) + i = 0

3/2 + i = 0

i = 3/2

Depois de descobertos todos os valores das incógnitas, podemos encontrar todos os elementos que compõem a matriz inversa de A: