Determine m e n tais que (~u,~v) seja LD, sendo ~u = (1,m,n+1) e~v = (m,n,10)

Para que dois vetores sejam linearmente dependentes, um deve ser proporcional ao outro (paralelos). Suponha um fator de proporcionalidade A:

\((1, m, n+1) = A(m, n, 10)\)

Trabalhando cota a cota, montamos o sistema:

\(\begin{cases} 1 = Am \\ m = An \\ n+1 = 10A \end{cases}\)

O sistema é de três incógnitas e três equações. Podemos dividir a primeira pela segunda equação e a primeira pela terceira equação, obtendo duas equações resolvíveis para \(m,n\), o que nos dá:

\(A = \frac{1}{2}, \ m = 2, \ n = 4\)

Portanto, \(\boxed{m = 2, \ n = 4 \ \ \text{tornam os vetores LD}}\).

O conjunto tem apenas dois elementos. Mas, sendo assim, deve existir um n° real  tal que



Isto é



.

Da primeira linha podemos reescrever as duas outras como




de onde, substituindo a 1° na segunda, 

.

A única solução real desta equação é , de modo que  e . Sendo assim,


e
.

Bem verdade que .