Neste exercício, será explicado o método da substituição para resolver integrais. Para isso, será utilizada a expressão geral desse método, conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow \int f(g(x))g^{'}(x) \space dx\)    \((I)\)

Esse método consiste em criar uma nova variável a fim de simplificar a integral. Por exemplo, será criada a variável \(u\). Sendo \(u=g(x)\), a derivada de \(u\) em relação a \(x\) é:

\(\Longrightarrow {du \over dx}={d \over dx}g(x)\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}=g^{'}(x)\)

\(\Longrightarrow du=g^{'}(x) \space dx\)

Substituindo as equações conhecidas na expressão \((I)\), a expressão resultante é:

\(\Longrightarrow \int f(\color{Blue}{g(x)}) \color{Red}{g^{'}(x) \space dx}\)

\(\Longrightarrow \int f(\color{Blue} u) \space \color{Red} {du}\)

Com isso, a integral inicial foi simplificada.

Exemplo: \(f(g(x))=\sin x\) e \(g^{'}(x) =\cos x\).

\(\Longrightarrow \int f(g(x))g^{'}(x) \space dx\)

\(\Longrightarrow \int \sin x \cos x \space dx\)

Sendo \(u=\sin x\), a derivada de \(u\) em relação a \(x\) é:

\(\Longrightarrow {du \over dx}={d \over dx}\sin x\)

\(\Longrightarrow {du \over dx}=\cos x\)

\(\Longrightarrow du=\cos x \space dx\)

Substituindo as equações conhecidas, a expressão resultante é:

\(\Longrightarrow \int \color{Blue}{\sin x} \color{Red}{\cos x \space dx}\)

\(\Longrightarrow \int \color {Blue}u \space \color{Red}{du}\)

\(\Longrightarrow {1 \over 2}u^2+c\)

Retornando à variável \(x\), a expressão resultante é:

\(\Longrightarrow {1 \over 2}\sin^2x+c\)

Então, a integral \(\int \sin x \cos x \space dx\) é igual a:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int \sin x \cos x \space dx={1 \over 2}\sin^2x+c $}\)