uma partida de futebol, um jogador lança a bola em uma trajetoria tal que ssua alt

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Diferencial e Integral.

Os pontos de máximo e mínimo de uma função \(f(x)\) ocorrem nas raízeis de sua derivada \(f'(x)\).

No presente problema, temos que:

\(\begin{align} h_1(t_1)&=-3t_1^2+12t_1 \\h_2(t_2)&=-1,8t_2^2+3,6t_2 \end{align}\)

Derivando, resulta que:

\(\begin{align} h'_1(t_1)&=-6t_1+12 \\h'_2(t_2)&=-3,6t_2+3,6 \end{align}\)

Isolando \(t\) para calcular as raízeis de \(h'_1(t)\) e \(h'_2(t)\), obtém-se, respectivamente que:

\(\begin{align} t_1&=\dfrac{12}{6} \\&=2\text{ s} \end{align}\)

\(\begin{align} t_2&=\dfrac{3,6}{3,6} \\&=1\text{ s} \end{align}\)

Substituindo tais valores em suas respectivas equações, calcula-se a altura máxima:

\(\begin{align} h_1(2\text{ s})&=-3\cdot2^2+12\cdot 2 \\&=-3\cdot4+12\cdot 2 \\&=-12+24 \\&=12\text{ m} \end{align}\)

\(\begin{align} h_2(1\text{ s})&=-1,8\cdot1^2+3,6\cdot 1 \\&=-1,8\cdot1+3,6\cdot 1 \\&=-1,8+3,6 \\&=1,8\text{ m} \end{align}\)

Portanto, para as funções \(\begin{align} h_1(t_1)&=-3t_1^2+12t_1 \end{align}\)e \(\begin{align} h_2(t_2)&=-1,8t_2^2+3,6t_2 \end{align}\), a altura máxima atingida pela bola é de, respectivamente, \(\boxed{h_1=\text{12 m}}\) e \(\boxed{h_2=\text{1,8 m}}\) e ocorrem, de forma respectiva, nos instantes \(\boxed{t_1=2\text{ s}}\) e \(\boxed{t_2=1\text{ s}}\).