Determine o volume do sólido de revolução da área entre as curvas x = cos(x) e y = x, para x >= 0, em torno do eixo x.

Para resolver este problema inicialmente esboçaremos os gráficos das curvas, o esboço pode ser encontrado na figura através do seguinte link: http://prntscr.com/inue9c.

Para encontrar o ponto de intersecção entre as curvas igualamos as duas equações, assim teremos:

\(x=cos(x)\)

A equação acima não é uma equação algébrica, portanto não possui solução analitica, a saída pra esse caso é encontrar uma solução aproximada, utilizaremos o método iterativo de Newton pra encontrar essa solução.

O método de Newton é dado por:

\(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)     

Utilizamos o critério de parada \(x_n-cos(x_n)=0\), e com isto encontramos a solução aproximada \(x_n=0,739\)

O volume de revolução será dado através da seguinte expressão:

\(V=\pi\int_0^{0,739}(cos^2(x)-x^2)dx\)

\(V=\pi\int_0^{0,739}(\frac{1+cos(2x)}{2}-x^2)dx\)

\(V=\pi(\frac{x}{2}+\frac{sen(2x)}{4}-\frac{x^3}{3})|_0^{0,739}\)

\(V=\pi(0,37+0,249+0,134)\)

\(V=2,367\ u.v\)

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