Alguém tem um exercício de subespaço vetoriall resolvido?

Primeiramente, antes de resolver qualquer exercício de Subespaços Vetoriais, você deve ter em mente que, para o conjunto S ser subespaço vetorial de um espaço vetorial V, com S ∈ V, deve satisfazer as seguintes condições:

i) S não pode ser vazio (essa condição é fácil de ser provada, sabendo que o elemento nulo (0) pertence a S);

sejam u e v elementos quaisquer de S e α um número real qualquer

ii) u + v deve pertencer a S;

iii) αu deve pertencer a S.

Agora, partindo pra questão:

Sejam u=(x1, y1, z1, t1) e v=(x2, y2, z2, t2) elementos quaisquer de W e α um número real qualquer.

i) W ≠ Ø, pois (0,0,0,0) ∈ S;

ii) u + v= (x1, y1, z1, t1) + (x2, y2, z2, t2)

           = (x1 + x2, y1+y2, z1+ z2, t1+t2)

o que implica que (x1+x2) + (y1+y2) = 0

e (z1+z2) - (t1+t2) =0

Portanto, u +v ∈ W;

iii) αu = α(x1, y1, z1, t1) = ( αx1, αy1,  αz1, αt1)

o que implica que  αx1+ αy1=0 e  αz1- αt1=0

Portanto,  αu ∈ W;

Portanto, W é um subespaço vetorial.

Note a importância de provar de um modo genérico, para que os resultados se apliquem a quaisquer valores.

Para que um conjunto seja subespaço vetorial de outro, além de estar contido neste, deve satisfazer:

• \(\exists 0\in W\ |\ 0+v=v\ \ \checkmark\)
  • \((0,0,0,0)+(x,y,z,t)=(x,y,z,t)\\ x_0+y_0=0+0=0\\ z_0-t_0=0-0=0\)
• \(\forall u,v \in W\Rightarrow u+v\in W\)
  • \(w=u+v=(x_u+x_v,y_u+y_v,z_u+z_v,t_u+t_v)\\ x_w+y_w=(x_u+x_v)+(y_u+y_v)=(x_u+y_u)+(x_v+y_v)=0+0=0\ \ \checkmark\\ z_w-t_w=(z_u+z_v)-(t_u+t_v)=(z_u-t_u)+(z_v-t_v)=0-0=0\ \ \checkmark\)
• \(\forall(c,v)\in \mathbb{R}\times W\Rightarrow c\cdot v\in W\)
  • \(w=c\cdot v=(cx_v,cy_v,cz_v,ct_v)\\ x_w+y_w=(cx_v)+(cy_v)=c(x_v+y_v)=c\cdot 0=0\ \ \checkmark\\ z_w-t_w=(cz_v)-(ct_v)=c(z_v-t_v)=c\cdot0=0\ \ \checkmark\)

Logo \(W\) é subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^4\).