[Subespaço Vetorial] (1,5 ponto) Verifique as 2 regras de fechamento para os seguintes subconjuntos do ℝ3 relativamente às operações usuais de adiç...

Para verificar se os subconjuntos são subespaços vetoriais, precisamos verificar duas regras de fechamento: fechamento em relação à adição e fechamento em relação à multiplicação por escalar. a) S = {(x, x^2, x+1); x ∈ ℝ} Para verificar o fechamento em relação à adição, precisamos verificar se a soma de dois vetores em S também pertence a S. Sejam u = (x1, (x1)^2, x1+1) e v = (x2, (x2)^2, x2+1) dois vetores em S. A soma de u e v é dada por (x1+x2, (x1+x2)^2, x1+x2+2). Podemos observar que a soma também pertence a S, pois os elementos da soma satisfazem as condições do conjunto S. Portanto, o conjunto S é fechado em relação à adição. Para verificar o fechamento em relação à multiplicação por escalar, precisamos verificar se o produto de um vetor em S por um escalar também pertence a S. Seja u = (x, x^2, x+1) um vetor em S e k um escalar. O produto de u por k é dado por (kx, (kx)^2, k(x+1)). Novamente, podemos observar que o produto também pertence a S, pois os elementos do produto satisfazem as condições do conjunto S. Portanto, o conjunto S é fechado em relação à multiplicação por escalar. Portanto, o conjunto S = {(x, x^2, x+1); x ∈ ℝ} é um subespaço vetorial. b) S = {(x, y, z); -x+3y=0 e 2x+z=0} Para verificar o fechamento em relação à adição, precisamos verificar se a soma de dois vetores em S também pertence a S. Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) dois vetores em S. A soma de u e v é dada por (x1+x2, y1+y2, z1+z2). Para verificar se a soma pertence a S, precisamos verificar se as condições -x+3y=0 e 2x+z=0 são satisfeitas para a soma. No entanto, não podemos afirmar que a soma pertence a S, pois não temos informações suficientes sobre as variáveis x, y e z. Portanto, o conjunto S não é fechado em relação à adição. Portanto, o conjunto S = {(x, y, z); -x+3y=0 e 2x+z=0} não é um subespaço vetorial.