Como deduzir a equação da circunferência que passa pelos pontos (4,5), (3, -2) e (1,-4)?

Boa noite, Márcia!

A equação da circunferência no plano é:

(x-x0)²+(y-y0)²=R²

Desenvolvendo, teremos:

x²-2x0x+x0²+y²-2y0y+y0²-R²=0

x²+y²-2x0x-2y0y+x0²+y0²-R²=0

-2x0=a

-2y0=b

x0²+y0²-R²=c, ficamos então com:

x²+y²+ax+by+c=0

Vamos substituir os 3 pontos dados nesta última equação:

4²+5²+a4+b5+c=0

3²+2²+a3-b2+c=0

1²+4²+a1-b4+c=0

Ficamos com:

4a+5b+c=-41

3a-2b+c=-13

a-4b+c=-17

Sistema simples de ser resolvido (3 equações, 3 incógnitas)

Resolvendo por Regra de Kramer, chegamos em:

      |4 5  1|

D = |3 -2 1|=-12

      |1 -4 1|

        |-41 5  1|

Da = |-13 -2 1|=-84

         |-17 -4 1|

        |4 -41  1|

Db = |3 -13  1|=60

         |1 -17  1|

        |4 5 -41|

Dc = |3 -2  -13|=528

         |1 -4  -17|

a=Da/D=-84/-12=7

b=Db/D=60/-12=-5

c=Dc/D=528/-12=-44

Então, a equação fica:

x²+y²+7x-5y-44=0

x²+7x+y²-5y-44=0

x²+7x+(7/2)²-(7/2)²+y²-5y+(5/2)²-(5/2)²-44=0

(x+7/2)²+(y-5/2)²-(7/2)²-(5/2)²-44=0

(x+7/2)²+(y-5/2)²-125/2=0

(x+7/2)²+(y-5/2)²=125/2

Ou seja, circunferência de centro C=(-7/2, 5/2) e raio (5/2)*√10

Espero ter ajudado! Abraços!

Muito obrigada!! Ajudou bastante.

Rodrigo, aproveitando a pergunta da Márcia, tenho por exemplo 4 pontos, como saber se esses 4 pontos fazem parte de uma circunferência, isso é, como acomodar esses 4 pontos em uma circunferencia?

Abraços