Na equação x = a + b t + c t2 + d t3, em que x tem dimensão de comprimento e t tem dimensão de tempo, quais são as dimensões dos parâmetros a, b, c e

Interessante a questão!

Bom, como x é em comprimento seria uma dimensão [L]

Como t é dimensão de tempo é [T]

Na soma todos os termos tem que manter a mesma dimensão para poderem ser somados entre si. Então, os termos a, bt, ct² e dt³ tem dimensões [L]

Para encontrar as dimensões das variáveis sozinhas, basta fazer o seguinte:

a tem dimensão [L], diretamente.

bt tem dimensão [L], então, b.[T]=[L], então, b=[L]/[T] ou [L][T]^-1 (-1 é expoente somente de [T])

ct² tem dimensão [L], então, c.[T]²=[L], então, c=[L]/[T]² ou [L][T]^-2 (-2 é expoente somente de [T])

Por último,

dt³ tem dimensão [L], então, d.[T]³=[L], então, d=[L]/[T]³ ou [L][T]^-3 (-3 é expoente somente de [T])

Espero ter ajudado!

Para resolver esse exercício, basta lembrarmos que grandezas iguais tem dimensões iguais e grandezas somadas tem mesma dimensão, de forma que cada termos do lado direito da equação tem a mesma dimensão do lado esquerdo. Vamos denotar por \(L\) a dimensão de comprimento e por \(T\) a dimensão de tempo:

\(x = a+bt+ct^2+dt^3\Rightarrow [x] = [a] = [bt] = [ct^2] = [dt^3]\)

Lembrando que a dimensão do produto é dada pelo produto das dimensões, temos:

\([x] = [a] = [b][t] = [c][t]^2 = [d][t]^3\)

Substituindo as dimensões de comprimento e tempo dadas no enunciado, temos:

\(L = [a] = [b]T = [c]T^2 = [d]T^3\)

Temos, então, as dimensões de cada um dos parâmetros:

\(\boxed{ [a]=L\\ [b]=LT^{-1}\\ [c]=LT^{-2}\\ [d]=LT^{-3} }\)