Buscar

como calcular probabilidades usando distribuiçao de poisson

Probabilidade e Estatística

•

ESTÁCIO EAD

0
Dislike0
0
Dislike0
Reply2
User badge image

Edline Alexandre

💡 2 Respostas

User badge image

Jaaziel Kiu

Em muitas situações nos deparamos com a situação em que o número de ensaios $ n $ é grande ($ n\rightarrow \infty $) e $ p $ é pequeno ($ p\rightarrow 0 $), no cálculo da função binomial, o que nos leva a algumas dificuldades, pois, como podemos analisar, para $ n $ muito grande e $ p $ pequeno, fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de $ k $ sucessos a partir do modelo binomial, isto é, utilizando a função de probabilidade

 

\[p(k)=\mathbb{P}(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}.\]  

 

 

 

Observamos que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma

 

\[\mathbb{P}(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k\frac{n^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(np)^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}\]  

 

 

 

e, tomando $ \lambda = np $, segue que

 

\[\mathbb{P}(X = k)=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.\]  

 

 

 

Se tomarmos o limite quando $ n\rightarrow \infty $, obtemos que

 

\[\lim_{n\rightarrow \infty}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1\]  

 

 

 

e

 

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}=e^{-\lambda}\]  

 

 

 

para $ k = 0,1,\ldots $ e $ e\approx 2,718 $.

Assim temos que 

 

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}.\]  

 

 

 

Tal expressão é devida a Poisson e é muito utilizada para calcular probabilidades de ocorrências de defeitos "raros" em sistemas e componentes.

Definição 5.2.1:

Uma variável aleatória discreta $ X $ segue a distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $, $ \lambda \ \textgreater 0 $, se sua função de probabilidade for dada por

 

\[\mathbb{P}(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}.\]  

 

 

 

Utilizamos a notação $ X \sim \ \text{Poisson}(\lambda) $ ou $ X\sim \ \text{Po}(\lambda) $. O parâmetro $ \lambda $ indica a taxa de ocorrência por unidade medida.

 

Exemplo 5.2.1:

Considere um processo que têm uma taxa de $ 0,2 $ defeitos por unidade. Qual a probabilidade de uma unidade qualquer apresentar:
a) dois defeitos?
b) um defeito?
c) zero defeito?

Solução:

Neste caso, temos que $ X \sim \ \text{Poisson}(\lambda) $ com $ \lambda=0,2 $. Então

a) $ \displaystyle\mathbb{P}(X=2)=\frac{e^{-0,2}(0,2)^2}{2!}=0,0164 $;

b. $ \displaystyle\mathbb{P}(X=1)=\frac{e^{-0,2}(0,2)^1}{1!}=0,1637 $;

c. $ \displaystyle\mathbb{P}(X=0)=\frac{e^{-0,2}(0,2)^0}{0!}=0,8187 $.

Exemplo 5.2.2:

Suponha que uma aplicação de tinta em um automóvel é feita de forma mecânica, e pode produzir defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas mal pintadas, de acordo com uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição de Poisson de parâmetro $ \lambda=1 $. Suponha que sorteamos um carro ao acaso para que sua pintura seja inspecionada, qual a probabilidade de encontrarmos, pelo menos, $ 1 $ defeito? E qual a probabilidade de encontrarmos de $ 2 $ a $ 4 $ defeitos?

A probabilidade de encontrarmos pelo menos um defeito é dada por:

 

\[\mathbb{P}(X\geq 1)=1-\mathbb{P}(X\textless 1)=1-\frac{e^{-1}1^0}{0!}=1-e^{-1}\approx 0,63212.\]  

 

 

 

Já a probabilidade de encontrarmos entre 2 e 4 defeitos é de

 

\[\mathbb{P}(2\leq X\leq 4)=\mathbb{P}(X=2)+\mathbb{P}(X=3)+\mathbb{P}(X=4)=\frac{e^{-1}1^2}{2!}+\frac{e^{-1}1^3}{3!}+\frac{e^{-1}1^4}{4!}\approx 0,26058.\]  

 

 

 

Exemplo 5.2.3:

Suponha que 10% das crianças de um determinado bairro do Rio de Janeiro prefiram sorvete de baunilha ao de chocolate. Qual a probabilidade de que, se entrevistarmos $ 10 $ crianças deste bairro, exatamente $ 2 $ duas prefiram soverte de baunilha?

Podemos resolver este problema de duas maneiras. A primeira é a partir da utilização da distribuição binomial com parâmetros $ n=10 $ e $ p=0,1 $. A segunda, através da distribuição de Poisson de parâmetro $ \lambda = np = 1 $ que, embora não seja tão exata quanto a binomial, é bem mais simples de ser calculada. Calculemos primeiramente pela distribuição binomial.

 

\[\mathbb{P}(X=2)=\left(\begin{array}{c}10\\2\end{array}\right)(0,1)^2(0,9)^8\approx 0,194.\]  

 

 

 

Já pelo método de Poisson temos 

 

\[\mathbb{P}(X=2)=\frac{e^{-1}}{2!}\approx 0,184.\]  

 

 

 

Embora pelo método de Poisson tenhamos um erro associado a aproximação da distribuição binomial (que é a distribuição exata), este erro, em muitos casos, não chega a ser significativo.

Exemplo 5.2.4:

Suponhamos que em uma indústria farmacêutica 0,001% de um determinado medicamento sai da linha de produção somente com o excipiente, ou seja, sem nenhum princípio ativo. Qual a probabilidade de que em uma amostra de 4 mil medicamentos mais de 2 deles esteja somente com o excipiente.

Vamos calcular esta probabilidade usando a aproximação de poisson, pois além de ser uma aproximação muito boa neste caso é bem mais fácil de ser calculada.

Para usarmos a distribuição de Poisson primeiramente devemos encontrar o $ \lambda $, o qual é dado por $ \lambda=n\times p=4000\times 0,00001=0,04 $. Assim

 

\[\mathbb{P}(X\geq 2)=1-\mathbb{P}(X=0)-\mathbb{P}(X=1)=1-\displaystyle \frac{0,04^0e^{-0,04}}{0!}-\frac{0,04^1 e^{-0,04}}{1!}\approx 1-0,999221\approx 0,00078.\]  

 

 

 

Assim a probabilidade de que existam mais de 2 medicamentos com apenas o excipiente é de 0,078%.

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância.

Seja $ X $ uma variável aleatória discreta com distribuição de Poisson, com parâmetro $ \lambda $, ou seja, $ X\sim \ \text{Poisson}(\lambda) $. Então sua função geradora de momentos é dada por:

 

\[M_{X}(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{tk}e^{\lambda}\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda e^t)^k}{k!}=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}=e^{\lambda[e^t-1]}.\]  

 

 

 

O valor esperado de $ X $, que frequentemente é chamado de taxa de defeitos, é dado por:

 

\[\mathbb{E}(X)=\sum_{k=0}^\infty k\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda \left[\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\right]=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\right]=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{\lambda^k}{k!}\right] = \lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}=\lambda.\]  

 

 

 

Outra forma de calcularmos o valor esperando é utilizando a função geradora de momentos, pois $ M^\prime(0)=\mathbb{E}(X) $. Desta forma temos que:

 

\[M^\prime(t)=\frac{d}{dt}\exp(\lambda(\exp(t)-1))=\lambda \exp(\lambda(e^t - 1)+t)\]  

 

 

 

e então,

 

\[\mathbb{E}(X) = M^\prime(0)=\lambda \exp(1-1+0)=\lambda.\]  

 

 

 

Da mesma forma como feito para a esperança vamos usar a função gerradora de momentos para calcular a a variância, pois temos que $ \mathbb{E}[X^2]=M^{\prime\prime}(0) $. Assim

 

\[M^{\prime\prime}(t)=\lambda(e^{\lambda(e^t - 1)+t}(\lambda e^t +1))\]  

 

 

 

e então,

 

\[\mathbb{E}(X^2) = M^{\prime\prime}(0)=\lambda(\lambda+1)\]  

 

 

 

de onde segue que

 

\[\text{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2=\lambda(\lambda+1)-\lambda^2=\lambda.\]
0
Dislike0
User badge image

RD Resoluções

Em muitas situações nos deparamos com a situação em que o número de ensaios $ n $ é grande ($ n\rightarrow \infty $) e $ p $ é pequeno ($ p\rightarrow 0 $), no cálculo da função binomial, o que nos leva a algumas dificuldades, pois, como podemos analisar, para $ n $ muito grande e $ p $ pequeno, fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de $ k $ sucessos a partir do modelo binomial, isto é, utilizando a função de probabilidade

\[p(k)=\mathbb{P}(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)p^k(1-p)^{n-k}.\]  

Observamos que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma

\[\mathbb{P}(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k\frac{n^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(np)^k}{n^k}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}\]  

e, tomando $ \lambda = np $, segue que

\[\mathbb{P}(X = k)=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.\]  

Se tomarmos o limite quando $ n\rightarrow \infty $, obtemos que

\[\lim_{n\rightarrow \infty}1\left(1-\frac{1}{n}\right)\dots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1\]  

e

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}=e^{-\lambda}\]  

para $ k = 0,1,\ldots $ e $ e\approx 2,718 $.

Assim temos que 

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{P}(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}.\]
0
Dislike0

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

✏️ Responder

SetasNegritoItálicoSublinhadoTachadoCitaçãoCódigoLista numeradaLista com marcadoresSubscritoSobrescritoDiminuir recuoAumentar recuoCor da fonteCor de fundoAlinhamentoLimparInserir linkImagemFórmula

Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta

User badge image

Outros materiais

Perguntas relacionadas

Question Icon

como calcular probabilidades?

Probabilidade e Estatística

•

UNOPAR

User badge image

veronica souza

Question Icon

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta de uma variável aleatória que consiste em prever a probabilidade de um deter...

Probabilidade e Estatística

User badge image

Progresso com Exercícios

Question Icon

ESTATÍSTICA ( PROBABILIDADES- DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DE POISSOM)

Probabilidade e Estatística

•

UFPR

User badge image

Fernando de Farias

Question Icon

1. Sobre a distribuição de Poisson, é verdadeiro afirmar: A. É um tipo de distribuição discreta de probabilidade aplicável às ocorrências de um ev...

Probabilidade e Estatística

User badge image

Estudo Através de Questões

Materiais relacionados

1 pág.
Lista de Exercícios – Distribuição de Poisson

UFAM

User badge image

Igor Carvalho

Distribuição de Poisson

UFAM

User badge image

Igor Carvalho

Outros materiais