Alguma aplicação do Teorema de Stokes?

Olá Leonardo,

 não sei se você ainda precisa da explicação mas como estou estudando o Teorema de Stokes agora vou aproveitar para responder aqui e solidificar o Teorema na minha cabeça. Estou estudando mais no contexto de Mecânica dos Fluidos então devo tento aplicar mais nessa área (bom até que é mais intuitivo que magnetismo). Vamos lá:

 O Teorema de Stokes é dividido em dois termos (vou me guiar pela equação contida nesse link: http://wiki.sim.ul.pt/pt/images/math/e/0/7/e0740f39066ddef2d8119e0341144a40.png):

( I ) = ( II )

( I ) Integral de linha num contorno C (ou del(S) que significa 'fronteira da região S')

( II ) Integral de superfície de um região S delimitada por uma curva S

O que esse Teorema (incrivelmente!) relaciona é então:

( I ) a contribuição líquida (ou seja a diferença entre o que saí e o que entra) das componentes tangentes de um campo vetorial A à curva C

com 

( II ) a somatório das componentes do rotacional do campo vetorial A [rot(A)] normais à superfície S em cada ponto.

Explicando de forma melhor cada parte da equação:

( I ):

Um campo vetorial A associa a cada ponto do espaço um vetor. Ou seja, você fornece uma coordenada (x,y,z) e ele te retorna um vetor V originado naquele ponto (x,y,z)
com módulo, direção e sentido indicados pela equação do campo vetorial A(x,y,z). Um exemplo seria o campo vetorial associado à força gravitacional. Quanto a curva C
imagine que para cada ponto da curva exista um vetor 'r' saindo da origem do sistema até cada ponto de C. Pela própria definição a derivada de um ponto na curva 'r' é 'dr/dt' (onde 't' é uma variável usada para parametrizar a curva - ao variar 't' você anda sobre a curva) que é tangente àquele ponto. Vou chamar esse novo vetor 'dr/dt' de T (de tangente). Ou seja, está primeira parte da equação é um somátório (integral) de todos os produtos escalares de V e T em cada ponto ao longo da curva C.  De outra forma, o que a parte (I) do Teorema de Stokes faz então basicamente é "filtrar e somar" apenas as componentes tangenciais de todos os vetores V gerados pelo campo vetorial A nos pontos da curva C com relação à própria curva C. Imagine que essas componentes tangenciais irão fazer a curva S "ROTacionar" se elas não forem equilibradas, assim como alguém assoprando tangencialmente um catavento que se põe a "ROTacionar". E essa parte do efeito "ROTacional" advém do segundo termo da equação:

( II ):

Essa parte da equação está relacionada não à curva C mas a superfície S contida nela. Assim como na primeira parte da equação imaginamos que existem infinitos vetores T
tangentes à cada ponto da curva C dessa vez iremos imaginar infinitos vetores N normais a cada ponto da superfície S. O vetor dS contido na equação então nada mais é do que um vetor originado no centro de uma pequena área dS, com o módulo igual a dS e orientado na direção de um vetor unitário N normal àquela pequena área dS (desculpe-
me pela redundancia do "dS", apenas pra enfatizar mesmo). O rotacional de A neste ponto (mesmo ponto da pequena área dS analisada) pode possuir uma componente paralela
ao vetor dS que será "filtrada" pelo produto escalar do rot(A) por dS. Todas as parcelas das componentes normais à cada ponto da superfície S dos respectivos
rotacionais de A nestes pontos serão então somadas graças à integral de superfície gerando um "rotacional resultante".

EXEMPLO:

No contexto de fluidos esse campo vetorial pode ser por exemplo o "Campo de velocidade U(x,y,z)" que associa a cada ponto no espaço um vetor velocidade (de uma partícula fluida em movimento). Imagine agora um redemoinho onde o campo de velocidade U(x,y) (bimensional, por exemplo) gera vetores de velocidade tangencial à circunferência do redemoinho. Cada particula fluida então irá contribuir para um efeito rotativo que será descrito justamente pelo rotacional de U(x,y,z). Vale ressaltar que no caso planar o Teorema de Stokes é representado pelo Teorema de Green (caso específico) que é ligeiramente mais fácil de entender.

Bem, espero que tenha me feito entender (e espero ainda mais QUE eu tenha entendido bem, a prova é semana que vem ^^).

Se houver alguma dúvida só perguntar que farei o melhor pra tentar responder.

Grande abraço,

Pedro Henrique

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Stokes