como calculo esse limite?

divide todos pelo maior exponencial de X vai igualando a zeros as divisoes e deve sobrar uma constante

Seja \(\lim _{x\to \infty }\left(\left(\sqrt{9x^2+x}\right)-3x\right)\)

Vamos racionalizar com \(\frac{\sqrt{9x^2+x}+3x}{\sqrt{9x^2+x}+3x}\)

\(\lim _{x\to \infty }\left(\left(\sqrt{9x^2+x}\right)-3x\right.)=\lim _{x\to \infty }\left(\left(\sqrt{9x^2+x}\right)-3x)(\right.\frac{\sqrt{9x^2+x}+3x}{\sqrt{9x^2+x}+3x})\)

\(=\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{x}{\sqrt{9x^2+x}+3x}\right)\)

Vamos dividir pelo maior denominador:

\(=\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{x}{\sqrt{9x^2+x}+3x}\right)=\frac{x}{x\sqrt{9+\frac{1}{x}}+3x}=\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x\sqrt{9+\frac{1}{x}}}{x}+\frac{3x}{x}}=\frac{1}{\sqrt{9+\frac{1}{x}}+3}\)

Assim:

\(\lim _{x\to \infty }\left(\left(\sqrt{9x^2+x}\right)-3x\right)=\lim _{x\to \infty }\frac{1}{\sqrt{9+\frac{1}{x}}+3}\\ =\boxed{\frac{1}{6}}\)