3ª Lista de Física I

A) a + b = c = 3a

Vamos começar organizando as informações disponíveis.

Trata-se de um problema de soma vetorial de dois vetores, temos:

\(\mathrm{\vec{A}+\vec{B}= \vec{R}}\)      (1)

Sabemos que o vetor \(\mathrm{\vec{A}}\) é paralelo ao eixo x, portanto, ele pode ser escrito em termos de sua componente x e do vetor unitário na direção x, ou seja:  \(\mathrm{\vec{A} =A_x\hat{i}}\)   (2)

E sabemos também que o vetor soma \(\mathrm{\vec{R} }\) é paralelo ao eixo y, portanto, ele pode ser escrito em termos de sua componente y e do vetor unitário na direção y, ou seja:  \(\mathrm{\vec{R} =R_y\hat{j}}\)  (3)

E, assim, podemos escrever o vetor \(\mathrm{\vec{B} }\) genericamente como um veto no plano x e y, dado por: \(\mathrm{\vec{B} = B_x\hat{i}+B_y\hat{j}}\)   (4)

O módulo do vetor que procuramos pode ser expresso como  \(\mathrm{|{\vec{A} }|=|A_x|}\).    (5)

O módulo do vetor \(\mathrm{\vec{B} }\) mede 7m e pode ser determinado por: \(\mathrm {|\vec{B}|² = |B_x|^2+|B_y|^2=7^2 \implies B_x^2+B_y^2=49}\)   (6)

O módulo do vetor soma \(\mathrm{\vec{R} }\)é 3 vezes maior que o módulo do vetor \(\mathrm{\vec{A}}\), ou seja:

\(|\mathrm{\vec{R} }|=|R_y|=3 |A_x|\)    (7)

Vamos reescrever a equação (1) em termos das suas componentes, usando as equações (2), (3) e (4), temos:

\(\mathrm{{A_x\hat{i}}+{B_x\hat{i}}+{B_y\hat{j}}= {R_y\hat{j}} }\)

\(\mathrm{ \implies ({A_x+B_x)\hat{i}}+{B_y\hat{j}}= {R_y\hat{j}} }\)

Comparando as componentes em relação a x e as componentes em relação a y, no lado esquerdo da equação com os respectivos no lado direito, temos:

\( \begin{cases} \mathrm{A_x+B_x=0 \implies A_x=-B_x \quad \quad (8.I) \\ \quad \quad \, B_y=R_y \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \quad \; (8.II)} \end{cases}\)

Elevando ao quadrado os dois lados das equações (8.I) e (8.II), reorganizando-as, utilizando a informação da equação (7) e somando-as, obtemos:

\(\mathrm{\frac { \begin{cases} \mathrm{{A_x^2=(-B_x)^2=B_x^2 \\ B_y^2=R_y^2 \implies B_y^2=(3A_x)^2=9A_x^2}} \\ \end{cases}}{B_x^2+B_y^2=A_x^2+9A_x²=10A_x^2}}\)

E agora usando a informação da equação (6), obtemos o resultado solicitado:

\(\mathrm{10A_x^2=49 \implies A_x=\pm \sqrt{(\frac{49}{10})} \\ \implies A_x= \pm2,2 \implies |A_x|=2,2m} \)

Portanto, o módulo do vetor \(\mathrm{\vec{A}}\) tem valor igual a \(\mathrm{|\vec{A}|=2,2m}\)