Ajuda em integral?

Para reolver essa integral, ∫(xdx)/(a+bx), basta fazer uma mudança de variável:

Fazendo u = a + bx, temos:

du = b.dx ⇒ dx = du/b e x = (u-a)/b

Substituindo na integral, teremos:

∫[(u-a)/b.du/b]/u = ∫(u-a)du/b²u = ∫udu/b²u -∫adu/b²u = 1/b²∫du - a/b²∫du/u =

= 1/b².u - a/b².ln|u| + C = u/b² - a.ln|u|/b² + C

Voltando para a variável x, temos:

(a+bx)/b² - a.ln|a+bx|/b² + C

Agora, quando você tem k.∫(a+b)dx, isso equivale a k.∫adx + k.∫bdx, pois:

Usando as propriedades da integral, quando você tem uma constante dentro da integral, você pode passar ela pra fora, em símbolos seria:

∫k.f(x)dx = k.∫f(x)dx , onde k é constante e f(x) uma função         (*)

Então no seu caso, a gente faz a volta disso ai, ou seja, passa a constante pra dentro:

k.∫(a+b)dx = ∫k.(a+b)dx 

Usa a distributividade dentro da integral agora:

∫k.(a+b)dx = ∫(k.a + k.b)dx 

Outra propriedade de integrais é que a integral da soma é a soma da integrais. Usando isso temos:

∫(k.a + k.b)dx = ∫k.adx + ∫k.bdx 

Usando a propriedade (*) acima, temos:

∫k.adx + ∫k.bdx  = k.∫adx + k.∫bdx

Logo, 

 k.∫(a+b)dx = k.∫adx + k.∫bdx

Nadine, boa tarde!

A solução da Isadora está correta, e a do livro de Demidovich, também!

O que não podemos esquecer é que na procura por uma primitiva de uma integral ∫f(x)dx=F(x)+C sempre há uma constante envolvida já que a primitiva é a 'anti-derivada' da integral. Isto é, ao derivar o que se obteve na integração devemos voltar à função original. Como a derivada de uma função constante vale zero, temos sempre na primitiva da integral a constante em questão.

Vamos analisar a primitiva obtida pela Isadora:

(a+bx)/b² - a.ln|a+bx|/b² + C

Se realizarmos algumas operações podemos chegar na resposta do livro do Demidovich.

a/b²+x/b - a.ln|a+bx|/b² + C

x/b - a.ln|a+bx|/b² + (C+a/b²) (coloquei o a/b² junto com a constante, já que a é um número, b é um número, a/b² será um número, que é uma constante)

Chamando (C+a/b²) de K, teremos

x/b - a.ln|a+bx|/b² + K

Esta resposta bate com a do livro do Demidovich, certo? :D

Caso ainda reste dúvida, podemos derivar as duas funções obtidas e perceberemos que em ambas voltamos pra função original x/(a+bx)

(x/b - a.ln|a+bx|/b² + K)'

1/b-a/b².(1/(a+bx)).b

1/b-a/b.(1/(a+bx))

Tirando o mínimo:

((a+bx)-a)/(b(a+bx))

bx/(b(a+bx))

x/(a+bx), chegamos!

O início da integral obtida pela Isadora é (a+bx)/b². Ao derivar, encontramos (b)/b², que dá 1/b, igual ao que obtivemos no início da derivação da outra função.

Espero ter conseguido te ajudar!

Abraços!