determine os extremos absolutos nos intervalos indicados f(x)= 3x^2-3x+4 no intervalo [0,3]

f(x) =3x²-3x+4

Primeiro derivamos a função:

f'(x)=6x-3

Agora basta igualar essa derivada a zero para achar seus extremos absolutos:

0=6x-3

\(x = {1\over 2}\)

Como é de comum conhecimento, uma função do tipo y = ax²+bx+c tem apenas um máximo (caso a seja negativo) ou apenas um mínimo (caso a seja positivo). Com esse conhecimento sabemos que essa função tem um mínimo e que ele existe no ponto \(x = {1 \over 2}\).

A função dada é uma parábola com concavidade para baixo, ou seja, só possui um ponto crítico. Esse ponto crítico pode ser dado quando igualamos a derivada da função a zero: 

\(f(x)=3x^2-3x+4 \\ f'(x)=6x-3 \\ 6x-3=0 \\ x=1/2\)

Agora, vamos achar a y:

\(f'(x)=6x-3 \\ f'(1/2)=13/4\)

Logo, o ponto extremo da função é \(({1 \over 2},{13 \over 4})\)