Determine o zero da função f(x) = x3 - 7,5x2 + 12x +3 existente entre os valores de 4,5 e 6 de x, com E=0,05

A opção correta é 4,96.

Neste exercício, será utilizado o Método de Newton-Raphson. Para isso, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x)=x^3-7,5x^2+12x+3 \\ y=0 \end{matrix} \right.\)

Tem-se \(y=0\) porque queremos encontrar o zero de \(f(x)\).

Com isso, tem-se que a derivada de \(f(x)\) é:

\(\Longrightarrow {\partial f(x) \over \partial x}= {\partial \over \partial x} (x^3-7,5x^2+12x+3 )\)

\(\Longrightarrow f'(x)= 3x^2-15x+12\)

As iterações serão realizadas até que \(\Delta y\) atenda a uma tolerância conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow |\Delta y|<0,05\)

Antes de começar o processo, será calculado o valor do chute inicial \(x_0\). O enunciado disse que a solução encontrada deve estar entre 4,5 e 6. Portanto, o valor de \(x_0\) é:

\(\Longrightarrow x_0 = {1 \over 2}(4,5+6)\)

\(\Longrightarrow x_0 = 5,25\)

1. Primeira iteração: com \(x_0=5,25\), os valores de \( f(x_0)\) e \( f'(x_0)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x_0)=x_0^3-7,5x_0^2+12x_0+3 \\ f'(x_0)= 3x_0^2 - 15x_0 + 12 \end{matrix} \right.\)      \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x_0)=(5,25)^3-7,5\cdot (5,25)^2+12\cdot (5,25)+3 \\ f'(x_0)= 3\cdot (5,25)^2 - 15\cdot (5,25) + 12 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline { f(x_0)=3,984 } \\ \underline { f'(x_0)= 15,938 } \end{matrix} \right.\)

Então, o valor de \(\Delta y\) é:

\(\Longrightarrow \Delta y = y - f(x_0)\)

\(\Longrightarrow \Delta y = 0 - 3,984\)

\(\Longrightarrow \underline{ \Delta y = - 3,984}\)

Com isso, o valor de \(\Delta x\) é:

\(\Longrightarrow \Delta x = \big [f'(x_0) \big ]^{-1} \Delta y \)

\(\Longrightarrow \Delta x = \big [15,938 \big ]^{-1} (-3,984)\)

\(\Longrightarrow \underline { \Delta x =-0,25}\)

Portanto, o valor de \(x_1\) é:

\(\Longrightarrow x_1 = x_0 + \Delta x\)

\(\Longrightarrow x_1 = 5,25-0,25\)

\(\Longrightarrow \underline { x_1 = 5}\)

2. Segunda iteração: com \(x_1=5\), os valores de \( f(x_1)\) e \( f'(x_1)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x_1)=x_1^3-7,5x_1^2+12x_1+3 \\ f'(x_1)= 3x_1^2 - 15x_1 + 12 \end{matrix} \right.\)      \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x_1)=(5)^3-7,5\cdot (5)^2+12\cdot (5)+3 \\ f'(x_1)= 3\cdot (5)^2 - 15\cdot (5) + 12 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline { f(x_1)=0,5 } \\ \underline { f'(x_1)= 12 } \end{matrix} \right.\)

Então, o novo valor de \(\Delta y\) é:

\(\Longrightarrow \Delta y = y - f(x_1)\)

\(\Longrightarrow \Delta y = 0-0,5\)

\(\Longrightarrow \underline { \Delta y = -0,5}\)

Com isso, o novo valor de \(\Delta x\) é:

\(\Longrightarrow \Delta x = \big [f'(x_1) \big ]^{-1} \Delta y \)

\(\Longrightarrow \Delta x = \big [12 \big ]^{-1} \cdot (-0,5)\)

\(\Longrightarrow \underline { \Delta x = -0,0417}\)

Portanto, o valor de \(x_2\) é:

\(\Longrightarrow x_2 = x_1 + \Delta x\)

\(\Longrightarrow x_2 = 5-0,0417\)

\(\Longrightarrow \underline { x_2 = 4,958}\)

3. Terceira iteração: com \(x_2=4,958\), os valores de \( f(x_2)\) e \( f'(x_2)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline {f(x_2)=0,013 } \\ \underline { f'(x_2)= 11,38 } \end{matrix} \right.\)

Então, o novo valor de \(\Delta y\) é:

\(\Longrightarrow \Delta y = y - f(x_2)\)

\(\Longrightarrow \Delta y = 0-0,013\)

\(\Longrightarrow \underline { \Delta y = -0,013}\)

Como \( |\Delta y| = 0,013<0,05\), a solução pelo Método de Newton-Raphson foi encontrada.

Portanto, pelo Método de Newton-Raphson, a solução da função \(f(x)=x^3-7,5x^2+12x+3 \) (dentro do intervalo entre 4,5 e 6) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ x_2=4,958 $}\)