Como fazer uma matriz inversa de ordem 2x2

Precisa apenas mudar a ordem a posição de a11 para a22 e mudar os sinais de a12 e a 21

Seja \(\text A\) uma matriz quadrada de ordem \(n\), e \(\text X\) uma matriz tal que \(\text{A}\cdot \text{X}=\text{I}_n\) e \(\text{X}\cdot \text{A}=\text{I}_n\) (onde \(\text I_n\) é a matriz identidade de ordem \(n\)). Caso isso ocorra, denominamos a matriz \(\text X\) de matriz inversa de \(\text A\) e representamos por \(\text A^{-1}\)

No caso de matrizes \(2\times 2\), a matriz inversa consiste em inverter os elementos da diagonal principal, multiplicar a diagonal dos elementos da diagonal secundária por \((-1)\) e dividir todos os elementos pelo determinando.

Assim, sendo uma matriz  \(\text A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\), tem-se que \(\det \text A=ad-bc\), logo:

\(\text A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{ad-bc} & \dfrac{-b}{ad-bc} \\ \dfrac{-c}{ad-bc} & \dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right)\)

Para exemplificar, suponha que \(\text A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\), resulta que:

\(\text A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 0 & \dfrac{3}{3} \\ \dfrac{-1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{array} \right)\)

Fonte: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm. Acesso em 23 de junho de 2018.