A trajetória de um corpo é definida pelo vetor posição \(\vec{r}=(t^2,sen(t),-cos(2t)) \). Determine a aceleração (m/s2) para t = \(\pi\) (segundos)

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Diferencial e Integral e Movimento Vertical.

Em especial, é preciso lembrar que a aceleração no tempo (\(a(t)\)) consiste na derivada segunda da função de posição (\(r(t)\)). Visto isso, derivando duas vezes a função dada resulta que:

\(\begin{align} a(t)&=\dfrac{d^2(r(t))}{dt^2 } \\&=\dfrac{d^2(t^2,\text{ }\text{sen}(t),\text{}-\cos(2t))}{dt^2} \\&=\dfrac{d(2t,\text{ }\cos(t),2\cdot\text{sen(2t)})}{dt} \\&=(2,-\text{sen}(t),\text{ }4\cos(2t)) \end{align}\)

Daí, uma vez conhecido o compotamento da aceleração no tempo, basta substituir \(t=\pi\text { s} \) na equação anterior:

\(\begin{align} a(t=\pi\text{ s})&=(2,-\text{sen}(\pi),\text{ }4\cos(2\cdot \pi)) \\&=(2,\text{ }0,\text{ }4) \end{align}\)

Portanto, em \(t=\pi\text { s} \) a aceleração do objeto é definida pelo vetor \(\boxed{(2,\text{ }0,\text{ }4)}\).