como calcular a integral x^ln x dx

Veja nesse link

http://pt.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator/%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dx%5E%7Bln%7D%20dx 

Seja

\(\int \:x^{lnx}dx\)

Vamos utilizar a substituição \(u=\ln \left(x\right)\), temos então:

\(\int \:e^{u\left(u+1\right)}du\)

Vamos aplicar outra substituição \(v=u+1\). Assim:

\(\int \:e^{\left(v-1\right)v}dv\)

Utilizando método de completar quadrados, podemos reescrever :

\(\left(v-1\right)v\quad =\quad \left(v-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

A integral então ficará:

\(\int \:e^{\left(v-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}dv\)

Vamos fazer uma nova substituição: \(w=v-\frac{1}{2}\). Logo:

\(\int \:e^{w^2-\frac{1}{4}}dw\)

Pelas regras de potenciação, podemos reescrever :

\(\int \:e^{w^2}e^{-\frac{1}{4}}dw\)

Podemos retirar a constante para fora:

\(e^{-\frac{1}{4}}\cdot \int \:e^{w^2}dw\)

Vamos utilizar a integral comum, dada por \(\int \:e^{w^2}dw=e^{w^2}\text{F}\left(w\right)\)

Temos:

\(e^{-\frac{1}{4}}\cdot \int \:e^{w^2}dw=e^{-\frac{1}{4}}e^{w^2}\text{F}\left(w\right)\)

Voltando com a variável original e adicionando a constante C:

\(\boxed{\int \:x^{\ln \left(x\right)}dx=x^{\ln \left(x\right)+1}\text{F}\left(\ln \left(x\right)+\frac{1}{2}\right)+C}\)