calcule a integral, por método frações parciais ∫ x-1 / (x³ - x² + 4x - 4) dx

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Nesse exercício vamos estudar integral pelo método de frações parciais.

Vamos calcular a seguinte integral:

$$I=\int\dfrac{x-1}{x^3-x^2+4x-4}dx$$

A primeira coisa a se fazer é fatorar o denominador da fração. Perceba que 1 é raiz, então:

$$x^3-x^2+4x-4\equiv(x-1)(ax^2+bx+c)\equiv ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$$

Igualando a primeira parte com a última, temos:

$$(a,b,c)=(1,0,4)\Rightarrow x^3-x^2+4x-4\equiv(x-1)(x^2+4)$$

Temos então a nova integral:

$$I=\int\dfrac{x-1}{(x-1)(x^2+4)}dx=\int\dfrac{1}{x^2+4}dx$$

Podemos fatorar ainda por diferença de quadrados:

$$x^2+4\equiv x^2-(2i)^2\equiv (x+2i)(x-2i)$$

Voltando para a integral:

$$I=\int\dfrac{1}{(x+2i)(x-2i)}dx$$

Mas uma fração que tem um produto como denominador pode ser escrito como uma soma das frações como cada um dos fatores como denominador e uma função de grau inferior ao denominador como numerador:

$$\dfrac{1}{(x+2i)(x-2i)}\equiv\dfrac{A}{x+2i}+ \dfrac{B}{x-2i}$$

Multiplicando pelo denominador do lado esquerdo, temos:

$$0x+1\equivA(x-2i )+ B(x+2i)\equiv (A+B)x+2i(B-A)$$

Temos o seguinte:

$$(A+B,B-A)=\left(0,-\dfrac{i}{2}\right)\Rightarrow A=-B=\dfrac{i}{4}$$

Ficamos, então com a seguinte integral:

$$I=\dfrac{i}{4}\int\dfrac{1}{x+2i}-\dfrac{1}{x-2i}dx=\dfrac{i}{4}\left[\ln{(x+2i)}-\ln{(x-2i)}\right]$$

Mas lembremos que:

$$\ln a-\ln b=\ln{\dfrac{a}{b}}$$

Então:

$$I=\dfrac{i}{4}\ln{\dfrac{x+2i}{x-2i}}=\dfrac{i}{4}\ln{\dfrac{(x+2i)^2}{x^2+4}}$$

Finalmente:

$$\boxed{\int\dfrac{x-1}{x^3-x^2+4x-4}dx=\dfrac{i}{4}\ln{\dfrac{(x+2i)^2}{x^2+4}}}$$

Nesse exercício vamos estudar integral pelo método de frações parciais.

Vamos calcular a seguinte integral:

$$I=\int\dfrac{x-1}{x^3-x^2+4x-4}dx$$

A primeira coisa a se fazer é fatorar o denominador da fração. Perceba que 1 é raiz, então:

$$x^3-x^2+4x-4\equiv(x-1)(ax^2+bx+c)\equiv ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$$

Igualando a primeira parte com a última, temos:

$$(a,b,c)=(1,0,4)\Rightarrow x^3-x^2+4x-4\equiv(x-1)(x^2+4)$$

Temos então a nova integral:

$$I=\int\dfrac{x-1}{(x-1)(x^2+4)}dx=\int\dfrac{1}{x^2+4}dx$$

Podemos fatorar ainda por diferença de quadrados:

$$x^2+4\equiv x^2-(2i)^2\equiv (x+2i)(x-2i)$$

Voltando para a integral:

$$I=\int\dfrac{1}{(x+2i)(x-2i)}dx$$

Mas uma fração que tem um produto como denominador pode ser escrito como uma soma das frações como cada um dos fatores como denominador e uma função de grau inferior ao denominador como numerador:

$$\dfrac{1}{(x+2i)(x-2i)}\equiv\dfrac{A}{x+2i}+ \dfrac{B}{x-2i}$$

Multiplicando pelo denominador do lado esquerdo, temos:

$$0x+1\equivA(x-2i )+ B(x+2i)\equiv (A+B)x+2i(B-A)$$

Temos o seguinte:

$$(A+B,B-A)=\left(0,-\dfrac{i}{2}\right)\Rightarrow A=-B=\dfrac{i}{4}$$

Ficamos, então com a seguinte integral:

$$I=\dfrac{i}{4}\int\dfrac{1}{x+2i}-\dfrac{1}{x-2i}dx=\dfrac{i}{4}\left[\ln{(x+2i)}-\ln{(x-2i)}\right]$$

Mas lembremos que:

$$\ln a-\ln b=\ln{\dfrac{a}{b}}$$

Então:

$$I=\dfrac{i}{4}\ln{\dfrac{x+2i}{x-2i}}=\dfrac{i}{4}\ln{\dfrac{(x+2i)^2}{x^2+4}}$$

Finalmente:

$$\boxed{\int\dfrac{x-1}{x^3-x^2+4x-4}dx=\dfrac{i}{4}\ln{\dfrac{(x+2i)^2}{x^2+4}}}$$