Calculando a integral x² ln x dx pelo método da integração por partes, teremos :

Para calcular a integral \(\int x^2 \ln x \, dx\) pelo método da integração por partes, seguimos os seguintes passos: 1. Escolha \(u\) e \(dv\): - \(u = \ln x\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = x^2 \, dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^3}{3}\) 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 3. Substitua os valores: \[ \int x^2 \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx \] 4. Calcule a integral restante: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Portanto, \[ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C \] \[ = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C \] 5. Resultado final: \[ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C \] E aí está! Essa é a integral calculada pelo método da integração por partes.