como se calcula o a medida da altura do triângulo relativa ao lado BC senddo que seus vértices são: A(2,0) B(3,1) C(0,2) ?

A mediana de um triângulo é o segmento que parte de cada vértice e divide o lado oposto ao meio. 
Assim, como é pedido o comprimento da mediana relativa ao lado AC do triângulo ABC, cujos vértices são estes: A(4; 2), B(2; 3) e C(4; 8), então vamos encontrar qual é o comprimento de cada lado, aplicando a fórmula da distância (d) entre dois pontos. 
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Comprimento do lado AB, com A(4; 2) e B(2; 3). Assim, calculando a distância (d) entre os pontos A e B, teremos: 

d² = (2-4)² + (3-2)² 
d² = (-2)² + (1)²
d² = 4 + 1 
d² = 5 
d = +-√5 ----- como a medida do lado de um triângulo não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a: 

d = AB = √5 <--- Esta é a medida do lado AB. 

ii) Comprimento do lado BC, com B(2; 3) e C(4; 8). Assim, calculando a distância (d) entre os pontos B e C, teremos: 

d² = (4-2)² + (8-3)² 
d² = (2)² + (5)² 
d² = 4 + 25 
d² = 29 
d = +-√29 ----- tomando-se apenas a raiz positiva, temos que: 
d = BC = √29 <--- Esta é a medida do lado BC.

iii) ii) Comprimento do lado AC, com A(4; 2) e C(4; 8). Assim, calculando a distância (d) entre os pontos A e C, teremos: 

d² = (4-4)² + (8-2)²
d² = (0)² + (6)² 
d² = 0 + 36 --- ou apenas: 
d² = 36 
d = +-√36 ----- como √36 = 6, teremos: 
d = +-6 ----- tomando-se apenas a raiz positiva, temos que: 
d = AC = 6 <--- Esta é a medida do lado AC. 

iv) Agora veja: já temos as medidas dos três lados do triângulo, que são:
 
AB = √5  
BC = √29
AC = 6. 

Veja também isto: a mediana relativa ao lado AC partirá do vértice B e dividirá o lado AC ao meio. Então, as coordenadas do ponto médio do lado AC serão estas, cujo ponto chamaremos de M. Note que as coordenadas dos pontos A e C são estas: A(4; 2) e C(4; 8). Assim,encontrando o ponto médio, teremos:

M[(4+4)/2; (2+8)/2] 
M[(8)/2; (10)/2] 
M[4; 5] ---- ou seja, o ponto médio de AC tem as seguintes coordenadas: 

M(4; 5) <---- Este é o ponto médio de AC. 

v) Finalmente, agora vamos ver qual é a medida da mediana relativa ao lado AC. 
Veja que a mediana que divide o lado AC ao meio partiu do vértice B. 
Assim, encontraremos a distância (d) do vértice B(2; 3) ao ponto médio do lado AC, que é: M(4; 5). Logo:

d² = (4-2)² + (5-3)² 
d² = (2)² + (2)² 
d² = 4 + 4 
d² = 8 
d = +-√8 ------ como 8 = 2³ = 2².2, teremos: 
d = +-√(2².2) ----- veja que o "2" que está ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, ficando assim: 

d = +-2√(2) ----- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos que:

d = 2√(2)