Como calcular essa probabilidade?

Caro, para solucionar este problema pensa no 20% como seu sucesso ou seja o que voce quer, sendo assim p=0,2 logo q que é seu fracasou 1-p onde temos que q=0,8, seu numero de amostra é 15 então n= 15 e k sera definido em cada alternativa.

Pn,k= [ n!/(k!*(n-k)!)]*p^k * q^(n-k)    como essa formula voce nao obtem diretamente porcentagem, basta multlipicar por 100 para obtela.

A)  para no max 8 peças seu k tem de menor ou igual a 8 ai voce faz a formula  pra 0,1,2,3,4,5,6,7 e 8 e some as porcentagens.

B) para extamente 8 K= 8 peças.

C) para no minimo 8  peças seu k tem de ser  igual ou superior a 8  até seu max 15, some tudo e pronto

Fontes: meu caderno do primeiro semestre

Me desculpa qualquer equivoco, sou apenas um estudante de engenharia.

 abraços

• Tem-se um total de \(n=15\) cópias aleatórias de um livro-texto.
• Cada cópia será testada com o objetivo de averiguar se elas possuem alguma falha ou não.
• Com isso, cada teste pode resultar em um sucesso (falha na cópia) ou fracasso (sem falha na cópia).
• Pelo enunciado, a probabilidade de sucesso de cada teste é igual a \(p=20\%=0,2\).
• O resultado do teste de uma cópia independe dos testes das outras cópias.

Com essas informações, a probabilidade \(P\) de que \(x\) cópias apresentem falha é definida pela seguinte equação:

\[\begin{align} P(X=x)&={n \choose x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \\ &={15 \choose x}\cdot 0,2^x \cdot 0,8^{15-x} \,\,\,\,(I) \end{align}\]

Observações sobre a equação:

• \(X\) é chamada de variável aleatória.
• Essa equação é chamada de Distribuição de Probabilidade Binomial.
• Além disso, tem-se o seguinte:


\[\begin{align} \sum^n_{x=1} P(X=x)&=\sum^n_{x=1}{n \choose x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \\ \sum^{15}_{x=1} P(X=x)&=1 \,\,\,\, (II) \end{align}\]


a)

A probabilidade de que no máximo \(8\) cópias apresentem falha é calculada pela seguinte equação:


\[P(X \le 8)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) \,\,\,\,(III)\]


• Pela equação \((I)\), o valor de \(P(X=0)\) é:


\[\begin{align} P(X=0)&={15 \choose 0}\cdot 0,2^0 \cdot 0,8^{15-0} \\ &={15! \over 0!\cdot15!}\cdot 0,2^0 \cdot 0,8^{15} \\ &=0,0352 \end{align}\]


• Pela equação \((I)\), o valor de \(P(X=1)\) é:


\[\begin{align} P(X=1)&={15! \over 1!\cdot14!}\cdot 0,2^1 \cdot 0,8^{14} \\ &=0,1319 \end{align}\]


• Pela equação \((I)\), o valor de \(P(X=2)\) é:


\[\begin{align} P(X=2)&={15! \over 2!\cdot13!}\cdot 0,2^2 \cdot 0,8^{13} \\ &=0,2309 \end{align}\]


• Pela equação \((I)\), as outras probabilidades da equação \((III)\) são:


\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} P(X=3) &=0,2501 \\ P(X=4) &=0,1876 \\ P(X=5) &=0,1032 \\ P(X=6) &=0,0430 \\ P(X=7) &=0,0139 \\ P(X=8) &=0,0035 \\ \end{align} \end{matrix} \right.\]


• Substituindo os valores na equação \((III)\), o valor de \(P(X \le 8)\) é, aproximadamente:


\[\begin{align} P(X \le 8)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) \\ &=0,0352+0,1319+0,2309+0,2501+0,1876+0,1032+0,0430+0,0139+0,0035 \\ &= 0,9993 \\ &=99,93\% \end{align}\]


Concluindo, a probabilidade de que no máximo \(8\) cópias apresentem falha é, aproximadamente, \(\boxed{P(X \le8)=99,93\%}\).

b)

A probabilidade de que exatamente \(8\) cópias apresentem falha corresponde ao valor de \(P(X=8)\), calculado na letra a). Ou seja:


\[\begin{align} P(X=8) &=0,0035 \\ &=0,35\% \end{align}\]


Concluindo, para exatamente \(8\) cópias com falhas, a probabilidade é, aproximadamente, \(\boxed{P(X=8)=0,35\%}\).

c)

A probabilidade de no mínimo \(8\) cópias com falha corresponde ao valor de \(P(X \ge8)\).

Pela equação \((II)\), pode-se escrever o seguinte:


\[\begin{align} \sum^{15}_{x=1} P(X=x) &=1 \\ \sum^8_{x=1} P(X=x)+\sum^{15}_{x=9} P(X=x) &=1 \\ P(x \le 8)+\sum^{15}_{x=9} P(X=x) &=1 \end{align}\]


Somando e subtraindo \(P(X=8)\):


\[\begin{align} P(x \le 8)+\bigg[ \sum^{15}_{x=9} P(X=x) +P(X=8)\bigg]-P(X=8) &=1 \\ P(x \le 8)+\sum^{15}_{x=8} P(X=x)-P(X=8) &=1 \\ P(x \le 8)+P(x \ge 8)-P(X=8) &=1 \\ \end{align}\]


Isolando \(P(x \ge 8)\) e substituindo os valores conhecidos, seu valor é, aproximadamente:


\[\begin{align} P(x \ge 8) &=1-P(x \le 8)+P(X=8) \\ &=1-0,9993+0,0035 \\ &=0,0042 \\ &=0,42 \% \end{align}\]


Concluindo, a probabilidade de que no mínimo \(8\) cópias apresentem falha é, aproximadamente, \(\boxed{P(X \ge8)=0,42\%}\).