Integração por Substituição Trigonométrica.

eja dd a distância de um ponto da barra ao seu extremo direito e consideremos ainda que seu extremo direito seja o ponto zero do referencial cartesiano, disso decorre que d=x,x≥0d=x,x≥0 . A densidade num ponto da barra pode ser descrita como:

δ(d)=rd+qδ(d)=rd+q 

Para um ponto sobre o extremo direito da barra temos que d=0d=0 , assim

δ(0)=r⋅0+qδ(0)=r⋅0+q 

2=q2=q 

Disso temos que

δ(d)=rd+2δ(d)=rd+2 

Como a barra tem 8m de comprimento, então um ponto no meio da barra está a uma distância de 4m do seu extremo direiro, assim

δ(d)=rd+2δ(d)=rd+2 

4=4r+24=4r+2 

r=12r=12 

Portanto a função densidade pode ser expressa por

δ(d)=d+42δ(d)=d+42 

Agora vamos calcular a massa:

m=∫baδ(d) ddm=∫abδ(d) dd 

Substituindo os valores definidos anteriormente

m=∫80d+42 ddm=∫08d+42 dd 

m=12⋅(d22|80+4d|80)m=12⋅(d22|08+4d|08) 

m=12⋅(32+32)=642=32 u.m.m=12⋅(32+32)=642=32 u.m. 

Agora vamos definir o centro de massa a partir da relação

d=1m⋅∫bad δ(d) ddd=1m⋅∫abd δ(d) dd 

d=132⋅12⋅∫80d2+4d ddd=132⋅12⋅∫08d2+4d dd 

d=164⋅(d33|80+2d2|80)d=164⋅(d33|08+2d2|08) 

d=164⋅(5123+128)d=164⋅(5123+128) 

d=164⋅(8963)=143∼4,67 u.c.d=164⋅(8963)=143∼4,67 u.c. 

Como assumimos que o extremo direito está sobre o zero do referencial cartesiano, então o centro de massa está no ponto x=4,67x=4,67 

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