Integração por Substituição Trigonométrica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA - IMEF 
01352 - CÁLCULO II – TURMA: U 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
 Muitas vezes, substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução de 
uma integral. Se o integrando contém funções envolvendo uma das expressões: 
2222 , uaua  ou 22 au  , onde 0a , 
é possível fazer uma substituição trigonométrica adequada, de acordo com os casos a 
seguir. 
 
1° CASO: Quando a função integrando envolve a expressão 22 ua  , usamos a 
substituição senau  e  dadu cos . Supondo que 
22



 , temos: 
 
 
 



coscos
1
22
22
22222
aa
sena
senaaua



 
 
Ex.: Resolver a integral: dx
x
x


2
29
 
Neste exemplo fazemos senx 3 e  ddx cos3 . Assim cos39 2  x , 
para 
22



 . Então: 
Cgdd
d
sen
sen
sen
d
sen
sen
d
sen
d
sen
dx
x
x



























cotseccos
11cos
cos3
9
cos39
2
2
2
22
2
2
2
22
2
 
 Agora escreveremos este resultado em termos da variável x. Como senx 3 , 
onde 
22



 , temos que 






3
x
arcsen . 
Considerando que 
x
x
sen
g
29cos
cot




 , obtemos: 
C
x
arcsen
x
x
Cgdx
x
x










 3
9
cot
9
2
2
2
2
 
 
2° CASO: Quando a função integrando envolve a expressão 22 ua  , usamos a 
substituição tgau  e  dadu 2sec . Supondo que 
22



 , temos: 
 
 
 



secsec
1
22
22
22222
aa
tga
tgaaua



 
 
 
Ex.: Resolver a integral: 
 42xx
dx
 
 
Neste exemplo fazemos tgx 2 e  ddx 2sec2 . Assim sec242 x , 
para 
22



 . Então: 
  Cgdd
sen
d
sen
d
tgtg
d
xx
dx
























cotseccosln
2
1
seccos
2
11
2
1
cos
cos
1
2
1
2
sec
sec22
sec2
4
2
2
 
 Como: 
xtg
g
x
tgtgx
21
cot
2
2 

 e 
x
x
x
g
44
1cot1seccos
2
2
2   , 
portanto substituindo na integral acima, temos: 
C
x
x
C
xx
x
xx
dx








 














24
ln
2
124
ln
2
1
4
22
2 
3° CASO: Quando a função integrando envolve a expressão 22 au  , usamos a 
substituição secau  e  dtgadu sec . Supondo que 
2
0

  ou 
2
3
  , 
temos: 
 
 
 



tgatga
a
aaau



22
22
22222
1sec
sec
 
Ex.: Resolver a integral: dx
x
x


2
2 1
 
Neste exemplo fazemos secx e  dtgdx sec . Assim tgx 12 , 
para 
2
0

  ou 
2
3
  . Então: 
  Csentgddd
dd
tgdtgtg
dx
x
x













 












seclncossec
sec
1
sec
sec
1sec
secsec
sec1 22
22
2
 
 Como: 
11secsec 22  xtgx  e 
x
x
x
sen
x
11
1cos1
1
sec
1
cos
2
2
2  

 , 
 portanto substituindo na integral acima, temos: 
  C
x
x
xxdx
x
x





1
1ln
1 22
2
2