Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt.

Resp.: \({3 \over 2}i + 7j + {3\over2}k\) 

Em alguns sites a resposta é 0,25i + 7j + 1,5k, para ser 0,25 teria que ficar 1/4 mas essa integral em i da 3/2 de todas as formas, não sei como chegaram a esse 0,25.

Basta integrar coordenada a coordenada no sentido de cada um dos vetores unitários i, j e k.

As primitivas obtidas serão dadas por:

No sentido do vetor i: t^4/4

No sentido do vetor j: 7t

No sentido do vetor k: t^2/2 + t

Pelo teorema fundamental do cálculo, com t variando no intervalo [0,1], o vetor que representa o resultado da integral definida é (1/4,7,3/2) ou, equivalentemente, 1/4 i + 7 j + 3/2 k.

Seja

\(\int_0^1(t^3i+7j+(t+1)k)dt\)

Calculando a integral indefinida:

\(\int(t^3i+(t+1)k)dt=\frac{t^4}{4}i+7tj+(\frac{t^2}{2}+t)k\)

Agora aplicando os limites:

\(\frac{t^4}{4}i+7tj+(\frac{t^2}{2}+t)k]_0^1=\frac{1^4}{4}i+7.1j+(\frac{1^2}{2}+1)k-\frac{0^4}{4}i+0\\ =\frac{1}{4}i+7j+(\frac{1}{2}+1)k\\ =\frac{1}{4}i+7j+(\frac{3}{2})k\\\)

Portanto

\(\boxed{\int_0^1(t^3i+(t+1)k)dt=\frac{1}{4}i+7j+(\frac{3}{2})k\\}\)