Questão resolvida - Calcule a integral definida 1_((x9)_raiz quadrada(x)) no intervalo de 0 a 9 - integral - cálculo II

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule a integral definida
 
dx
9
0
∫ 1
x + 9( ) x
Resolução:
 
Primeiro, vamos resolver a integral em sua forma indefinida;
 
dx∫ 1
x + 9( ) x
 
Fazemos a substituição: x = u dx = 2udu2 →
 
2udu = du = 2 du∫ 1
u + 92 u2
∫ 2u
u + 9 u2
∫ 1
u + 92
 
É necessário reescrever a integral para fazer uma nova substituição;
 
2 du = 2 du = du = du∫ 1
u + 92
∫ 1
9 + 1
u
9
2
2
9
∫ 1
+ 1
u
9
2
2
9
∫ 1
+ 1
u
3
2
 
vamos, então, fazer a substituição; t = dt = du = dt du = 3dt
u
3
→
1
3
→
du
3
→
 
du = 3dt = ⋅ 3 dt = dt = dt
2
9
∫ 1
+ 1
u
3
2
2
9
∫ 1
t + 12
2
9
∫ 1
t + 12
2 ⋅ 3
9
∫ 1
t + 12
2
3
∫ 1
t + 12
Da tabela de integrais, sabemos que : dt = Arctan t∫ 1
t + 12
( )
 
Assim, temos que :
 
 
 
dt = Arctan t + c
2
3
∫ 1
t + 12
2
3
( )
 
Mas t = , então Arctan + c
u
3
→
2
3
u
3
 
E temos que : x = u u = x u =2 → 2 → x
 
Substituindo, fica;
 
dx = Arctan + c∫ 1
x + 9( ) x
2
3 3
x
 
Voltando para a integral definida e resolvendo, fica;
 
dx = Arctan = Arctan - Arctan
9
0
∫ 1
x + 9( ) x
2
3 3
x 9
0
2
3 3
9 2
3 3
0
 
= Arctan - Arctan = Arctan 1 - Arctan 0 = ⋅ - ⋅ 0
2
3
3
3
2
3
0
3
2
3
( )
2
3
( )
2
3
𝜋
4
2
3
 
=
𝜋
6
 
 
(Resposta )