Dados o plano pi: x+by-2z-6=0 e a reta r:x=a+t; y=2-t; z=-1+2t;

Para que a reta r pertença ao plano pi, ela deve satisfazer a equação do plano. Assim, temos:

(a+t) + b(2-t) - 2(-1+2t) - 6 = 0

a + t + 2b - bt + 2 - 4t - 6 = 0

(a + 2b - 4) + (1 - b - 4)t = 0

(a + 2b - 4) + (- b - 3)t = 0

Como t, que é o parâmetro da reta r, pode assumir qualquer valor real, devemos necessariamente ter:

a + 2b - 4 = 0 e - b - 3 = 0

Resolvendo esse sistema, obtemos:

b = -3 

a + 2(-3) - 4 = 0 ⇒ a = 10

Realize os cálculos abaixo:

2*(1 + 3t) + m(-2 - 4t) + n(5 + 4t) - 5 = 0 

2 - 2m + 5n - 5 + t(6 -4m +4n) = 0 

Como t pode ser qualquer real devemos ter necessariamente:

6 - 4m + 4n = 0 (o número que multiplica t ) 

2 - 2m + 5n = 0 

Resolvendo o sistema, temos:

-6n + 2=0 ---> n =1/3 

Portanto,

m = 11/6