Problema em Probabilidade e Estatistica

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O intervalo de confiança de uma amostra pode ser calculado por meio da equação:

\[\bar{X} - Z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + Z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

E a partir dela, caso queiramos definir o tamanho da nossa população, temos a fórmula abaixo. Onde E é o erro específico da amostra

\[n = (\dfrac{Z_{\alpha/2}\sigma}{E})^2 = (\dfrac{Z_{\alpha/2}\sigma}{|\bar{X} - \mu|})^2\]

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Sabendo do cálculo para definição do tamanho de amostra, podemos encontrar o valor do desvio padrão e verificar se o mesmo está em uma grandeza considerável aceitável para o problema, Assim, aplicando os dados fornecidos pelo exercício, temos:

\[\eqalign{&30 = \left(\dfrac{Z_{0.95/2} \cdot \sigma}{|970 - 1000|}\right)^2\\& 30 = \left(\dfrac{1.96 \cdot \sigma}{|970 - 1000|}\right)^2\\& \sqrt{30} = \dfrac{1.96 \cdot \sigma}{30}\\& \sigma = \dfrac{\sqrt{30}\cdot 30}{1.96} \\& \sigma = 83,835}\]

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O valor de desvio padrão de \(\boxed{83.835}\) para a amostra obtida está dentro da normalidade esperada, considerando-se uma média populacional de 1 litro e 30 amostras com média amostral de 970ml.