Dada a equação da parábola (y-3)²=-4(x+2), determine:? a)as coordenadas do foco; b)a equação da diretriz; c)faça um esboço do gráfico

A equação reduzida de uma parábola tem o seguinte layout:

O vértice da parábola é onde encontramos \(x=0\) e \(y=0\)

Para o nosso caso:

Fazemos:

\(x+2=0\)    e   \( y-3=0\)

\(x= -2\)      e     \(y=3\)

As coordenadas do vértice são \((-2, 3)\). Isso quer dizer que a parábola está deslocada da origem.

Se p é o parâmetro da parábola, para o nosso caso:

\(p= -4\)

a)

Uma vez que a parábola sempre está voltada para o eixo da variável de primeiro grau, então no nosso caso, ela estará voltada para o eixo \(x \), e seguirá para a parte negativa do eixo \(x \) (pois o coeficiente do \(x \) é negativo)

O foco da parábola sempre está "dentro" dela, e sempre alinhado ao vértice.

Então, nesse caso, a coordenada \(y\) do foco será a mesma coordenada \(y\) do vértice.

A coordenada \(x \) do foco, está a \(-p/2\) da coordenada do \(x \) vértice:

\(-2+(-4/2) \\\\ -2+(-2)= -4\)

Portanto, as Coordenadas do foco será:

 \(\boxed{F=(-4, 3)}\)

b)

A diretriz está sempre fora da parábola, e está sempre a uma distáncia de \(p/2\) do vértice

No nosso caso, a diretriz será:

\(x= -2 - (-2) =0 \\ x=0\)

Nesse caso, a diretriz será o própio eixo y.

c)