como calcular ponto de maxima em uma curva?

Vamos considerar a seguinte curva:

\(\Longrightarrow y = -x^2 + 2x + 3\)

A coordenada \(x_0\) correspondente ao ponto crítico da curva deve atender à seguinte equação:

\(\Longrightarrow {\partial y \over \partial x } =0\)

Portanto, o valor de \(x_0\) é:

\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x }(-x^2 + 2x + 3) =0\)

\(\Longrightarrow -2x_0 + 2=0\)

\(\Longrightarrow 2x_0 = 2\)

\(\Longrightarrow \underline { x_0 = 1 }\)

E o valor de \(y_0\) correspondente é:

\(\Longrightarrow y_0 = -x_0^2 + 2x_0 + 3\)

\(\Longrightarrow y_0 = -(1)^2 + 2\cdot(1) + 3\)

\(\Longrightarrow y_0 = -1 + 2 + 3\)

\(\Longrightarrow \underline {y_0 = 4 }\)

Para provar que o ponto crítico \((x_0,y_0)=(1,4)\) é um ponto de máximo, a seguinte equação deve ser atendida:

\(\Longrightarrow {\partial^2 y \over \partial x^2 } \bigg |_{x=x_0}<0\)

Portanto, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x }\Big ( {\partial y \over \partial x } \Big ) \bigg |_{x=x_0}<0\)

\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x } ( -2x+2 ) \bigg |_{x=x_0}<0\)

\(\Longrightarrow (-2) \bigg |_{x=x_0}<0\)

\(\Longrightarrow -2<0 \,\,\,\ \mathrm{(Verdadeiro)}\)

Portanto, o ponto crítico \((x_0,y_0)=(1,4)\) de fato é um ponto de máximo da curva \( y = -x^2 + 2x + 3\).

Concluindo, o ponto máximo de \( y = -x^2 + 2x + 3\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ (x_0,y_0)=(1,4) $}\)

Gráfico: https://www.google.com.br/search?source=hp&btnG=Pesquisar&q=-x%5E2+%2B+2x+%2B+3&oq=&gs_l=psy-ab.1.0.35i39k1l6.0.0.0.3664.2.1.0.0.0.0.0.0..1.0....0...1..64.psy-ab..1.1.148.6...149.xRNHVwHRxnk