integral de Arccos (x) dx

A integração por partes nos dá a seguinte relação:

∫(u*dv) = u*v - ∫(v*du)       (1)

Fazendo u = arcsen(x) e dv = dx. teremos: 

du = d(arcsen x) = 1/raiz(1- x^2)       (2) 
e 
v = x + c          (3) 

onde c é uma constante. 

Substituindo os valores de (2) e (3) em (1), temos: 

∫(arcsen(x) dx) = (arcsen(x))*(x + c) - ∫((x +c)/raiz(1 - x^2) dx)

 
= (arcsen(x))*(x + c) - ∫(x/raiz(1 - x^2) dx) - ∫(c/raiz(1 - x^2) dx)    (4) 

Resolvendo separadamente cada uma das integrais acima: 

A) ∫(x/raiz(1 - x^2) dx) 

Uma substituição simples é suficiente para resolvê-a.

Vamos omitir a constante C acrescentada no fim das integrais indefinidas abaixo e adicionar apenas uma constante ao fim da solução.

Fazemos z = 1- x^2, temos que dz = -2xdx 

Portanto, a integral fica: 

∫(x/raiz(1 - x^2) dx) = -1/2*∫(1/raiz(z) dz) 
= -1/2*∫(z^(-1/2) dz)
= -1/2*z^(1/2)/1/2
= - z^(1/2)
= -(1-x^2)^(1/2)        (5) 

B) ∫(c/raiz(1 - x^2) dx) = c*∫(1/raiz(1-x^2)dx)
= c*arcsen(x)            (6) 

Substituindo (5) e (6) em (4):

∫(arcsen(x) dx) = (arc sen x)*(x + c) - ∫(x/raiz(1 - x^2) dx) - ∫(c/raiz(1 - x^2) dx) 
= (arc sen x)*(x + c) - (-(1-x^2)^(1/2) + c) - (c*arcsen x + c)

A partir daí é algebrismo.

Vamos utilizar a integração por partes:

\( ∫fg′=fg−∫f′g\)

Seja:

\(f=arccos(x)\\ g'=1\)

a derivada do \(arccos(x)\) é  tabelada e é:

 \(f'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(g=x\)

Assim

\( ∫fg′=x. arcos(x)-\) \(∫-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

Vamos resolver a integral \(∫-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\):

seja:

 \(u = 1-x²\)

\(du=-2xdx\\ dx=-du/2x\)

Substituindo:

\(∫-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ 1/2∫-\frac{1}{\sqrt{u}}dx=1/2.2=\sqrt u\)

Voltando para x:

\(\sqrt {1-x^2}\)

Substituindo na integral em partes:

\( ∫fg′=x. arcos(x)-\)\(∫-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

\(\boxed{ ∫fg′=x. arcos(x)-\sqrt {1-x^2}}\)