Limites

Podemos utilizar L'Hospital, pois a função tem numerador e denominador iguais a zero quando passamos o limite.

Derivando em cima e em baixo, teremos:

lim(x→0) 2/e^x=2 (c)

Espero ter ajudado!

Seja

\(\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2x}{e^x-1}\right)\)

Vemos que esse limite é uma indeterminação \(0/0\). Assim utilizamos L'hospital, derivando em numerador e denominador

\(\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2x}{e^x-1}\right)\\=\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2}{e^x}\right)\)

Substituindo \(x=0\) :

\(\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2x}{e^x-1}\right)\\=\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2}{e^x}\right)\\​​=\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2}{e^0}\right)\\=\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2}{1}\right)=2\)

portanto:

\(\boxed{\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2x}{e^x-1}\right)=2}\)