demonstre que, se f e g são ímpares, então (f+g) e f/g são funções pares

Nesse exercício vamos estudar a paridade das funções.

Uma função ímpar é aquela que:

$$f(-x)=-f(x)$$

E uma função par é aquela que:

$$f(-x)=f(x)$$

Dado que $f$ e $g$ são ímpares, vamos determinar a paridade de $f+g$ e de $f/g$:

$$(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x)$$

Ou seja, $f+g$ é uma função ímpar, ao contrário do que é dito no enunciado.

Para $f/g$, temos:

$$(f/g)(-x)={f(-x)\over g(-x)}={-f(x)\over-g(x)}=(f/g)(x)$$

Ou seja, $f/g$ é uma função par, concordando com o que é dito no enunciado.

Sendo  m(x) = f(x)/g(x)

Temos que para  função ser par devemos ter h(x) = h(-x).

E sabemos também que para funções ímpares: f(-x) = - f(x)

Assim temos, m(-x) = f(-x)/g(-x) = (-f(x))/(-g(x)) = f(x)/g(x), assim, m(-x) = m(x). Assim é uma função par.

Para o outro caso o racíocinio é semelhante.

Nesse exercício vamos estudar a paridade das funções.

Uma função ímpar é aquela que:

$$f(-x)=-f(x)$$

E uma função par é aquela que:

$$f(-x)=f(x)$$

Dado que $f$ e $g$ são ímpares, vamos determinar a paridade de $f+g$ e de $f/g$:

$$(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x)$$

Ou seja, $f+g$ é uma função ímpar, ao contrário do que é dito no enunciado.

Para $f/g$, temos:

$$(f/g)(-x)={f(-x)\over g(-x)}={-f(x)\over-g(x)}=(f/g)(x)$$

Ou seja, $f/g$ é uma função par, concordando com o que é dito no enunciado.