Ache a solução da equação diferencial ỳ=-2xy², que atenda a condição inicial y(0)=5 e assinale a alternativa que a contenha.

dy/dx=-2xy²

dy/y² = -2xdx

∫dy/y² = ∫-2xdx

-1/y = -x²+C   usando a condição inicial  y(0)=5

-1/5=-0²+C    C=-1/5

a equação ficaria:

-1/y=x²-1/5

-1/y=(5x²-1)/5

y=-5/(5x²-1)

Qualquer coisa entrar em contato

Temos que \(y'=-2xy^{2}\).

Vamos achar a solução desta equação diferencial.

Inicialmente, vamos reescrever e teremos:

\(\frac{dy}{dx}=-2xy^{2}\)

Separando as variáveis:

\(\frac{dy}{y^{2}}=-2xdx\)

Reescrevendo:

\(y^{-2}dy=-2xdx\)

Integrando os lados da equação, teremos:

\(\int{ }y^{-2}dy=\int{ }-2xdx\)

\( \frac{y^{-2+1}}{-2+1}=-2\frac{x^{1+1}}{1+1}+C\\ \frac{y^{-1}}{-1}=-2\frac{x^{2}}{2}+C\\ \)

\( -{y^{-1}}=-{x^{2}}+C\\ y=-\frac{1}{C-x^2}\)

Temos a condição inicial dada por y(0)=5. Portanto:

\( -1/5=-{0^{2}}+C\\ \)

c=-1/5

Logo, a solução particular desta equação é:

\( -{y^{-1}}=-{x^{2}}+C\\ -1/y=-{x^{2}}-1/5\\ 1/y={x^{2}}+1/5\\ \)