resolucao numerica de equacoes diferenciais ordinariais

dy/y = dt

integral dy/y = integral dt

ln|y|+c = t

ln|y|=t-c

ln de |y| é igual a logaritimo de base "e", sendo assim de acordo com a regra  de log, temos

e^t-c = y

e^t.e^c=y

conciderando c = e^c então

e^t.c=y

se qundo y for zero o valor final é 1, então

e^0.c=1

e^0=1

logo

c=1

y(t)=e^t, multiplicado por1

Obs:

esta é uma maneira de solucionar a equação, ainda não estudei o método do ponto médio

Nesse exercício vamos estudar o método do ponto médio.

Basicamente o método é dado pela seguinte recursão:

$$y(t+\Delta t)=y(t)+\Delta ty’\left(t+\frac12\Delta t, y(t)+\frac12\Delta t y’(t,y(t))\right)$$

Para nosso caso temos $y' = y$, então:

$$y(t+\Delta t)=y(t)+\Delta t\left(y(t)+\frac12\Delta t y(t)\right)=y(t)+\Delta ty(t)+\dfrac12(\Delta t)^2 y(t)$$

E substituindo o passo:

$$y(t+1)=y(t)+1y(t)+\dfrac12\cdot1y(t)=\dfrac52y(t)$$

Partindo de $y(0)=1$, temos:

$$y(1)=\dfrac52y(0)=\dfrac52$$

$$y(2)=\dfrac52y(1)=\dfrac{25}4$$

$$y(3)=\dfrac52y(2)=\dfrac{125}8$$

$$y(4)=\dfrac52y(3)=\dfrac{625}{16}$$

Nesse exercício vamos estudar o método do ponto médio.

Basicamente o método é dado pela seguinte recursão:

$$y(t+\Delta t)=y(t)+\Delta ty’\left(t+\frac12\Delta t, y(t)+\frac12\Delta t y’(t,y(t))\right)$$

Para nosso caso temos $y' = y$, então:

$$y(t+\Delta t)=y(t)+\Delta t\left(y(t)+\frac12\Delta t y(t)\right)=y(t)+\Delta ty(t)+\dfrac12(\Delta t)^2 y(t)$$

E substituindo o passo:

$$y(t+1)=y(t)+1y(t)+\dfrac12\cdot1y(t)=\dfrac52y(t)$$

Partindo de $y(0)=1$, temos:

$$y(1)=\dfrac52y(0)=\dfrac52$$

$$y(2)=\dfrac52y(1)=\dfrac{25}4$$

$$y(3)=\dfrac52y(2)=\dfrac{125}8$$

$$y(4)=\dfrac52y(3)=\dfrac{625}{16}$$