Para encontrar a inclinação da reta tangente à função \(x-y = \sqrt{x+y}\), faz-se o seguinte:

\(\Longrightarrow {d \over dx}x-{d \over dx}y = {d \over dx}\sqrt{x+y}\)

\(\Longrightarrow 1-{dy \over dx} = {d \over dx}\Big ((x+y)^{1/2} \Big ) \)

\(\Longrightarrow 1-{dy \over dx} = {1 \over 2}(x+y)^{{1 \over 2}-1} \cdot {d \over dx}(x+y)\)

\(\Longrightarrow 1-{dy \over dx} = {1 \over 2\sqrt{x+y}} \cdot (1+{dy \over dx})\)

\(\Longrightarrow 1-{dy \over dx} = {1 \over 2\sqrt{x+y}}+ {1 \over 2\sqrt{x+y}}{dy \over dx}\)

\(\Longrightarrow 1-{1 \over 2\sqrt{x+y}} = {dy \over dx}+{1 \over 2\sqrt{x+y}}{dy \over dx}\)

\(\Longrightarrow 1-{1 \over 2\sqrt{x+y}} = (1+{1 \over 2\sqrt{x+y}} ){dy \over dx}\)

\(\Longrightarrow {1-{1 \over 2\sqrt{x+y}} \over 1+{1 \over 2\sqrt{x+y}}}= {dy \over dx}\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx}= {2\sqrt{x+y}-1 \over 2\sqrt{x+y}+1}\)

Portanto, o coeficiente angular da reta tangente no ponto \((3,1)\) é:

\(\Longrightarrow a_{tan} = {dy \over dx} \bigg |_{(3,1)}\)

\(\Longrightarrow a_{tan} = {2\sqrt{x+y}-1 \over 2\sqrt{x+y}+1} \bigg |_{(3,1)}\)

\(\Longrightarrow a_{tan} = {2\sqrt{3+1}-1 \over 2\sqrt{3+1}+1} \)

\(\Longrightarrow a_{tan} = {4-1 \over 4+1} \)

\(\Longrightarrow a_{tan} = {3 \over 5} \)

A reta tangente e a reta normal são perpendiculares entre si. Portanto, seus coeficientes angulares se relacionam da seguinte forma:

\(\Longrightarrow a_{nor} =-{a_{tan}}^{-1}\)

\(\Longrightarrow a_{nor} =-\Big ( {3 \over 5} \Big )^{-1}\)

\(\Longrightarrow a_{nor} =-{5 \over 3}\)

Portanto, a equação da reta normal é:

\(\Longrightarrow y_{nor} = a_{nor} \cdot x + b\)

\(\Longrightarrow y_{nor} =-{5 \over 3} x + b\)

Substituindo o ponto \((x=3,y=1)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 1= -{5 \over 3} \cdot 3 + b\)

\(\Longrightarrow b=1+{5 \over 3} \cdot 3\)

\(\Longrightarrow b=6\)

Portanto, a equação completa da reta normal é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{nor} = -{5 \over 3} x + 6 $}\)