Alguém sabe? Qual é o volume do sólido que está sob o parabóloide z = x 2 + y 2 , acima do plano ?? e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 x ?

coordenadas cilindricas:

z= x²+y² = r²

x² + y² = 2x   -->  r² = 2r cos(theta) -> r= 2cos(theta). Logo, z= 4cos²(theta).

Acha os limites: theta é de [0, 2pi]; r é de [0, 2cos(theta)]; z é de [-4cos²(theta); 4cos²(theta)]

acha a função a ser integrada e calcula.

Nesse exercício vamos usar integral tripla para calcular o volume pedido.

Como todas as superfícies tem simetria cilíndrica, vamos usar coordenadas cilíndricas, em que o diferencial de volume é:

$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\theta\,dz$$

Vamos, então transformar as coordenadas:

$$(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

Então para o paraboloide:

$$z=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2$$

E para o cilindro:

$$r^2=2r\cos\theta\Rightarrow r=2\cos\theta$$

Temos então a integral:

$$V=\int\int\int r\,dr\,d\theta\,dz$$

Adicionando os intervalos, temos:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\int_0^{r^2} r\,dz\,dr\,d\theta$$

Integrando na variável $z$, temos:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\left[rz\right]_0^{r^2}\,dr\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta$$

Integrando em $r$, temos:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[\dfrac14r^4\right]_0^{2\cos\theta}\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^4\theta\,d\theta$$

Para essa integral, lembremos da identidade do cosseno do arco duplo:

$$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1\Rightarrow \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$$

Substituindo na nossa integral:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\left(\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\cos2\theta\right)^2\,d\theta$$

Expandindo o binômio, ficamos com:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1+2\cos2\theta+\cos^22\theta\,d\theta$$

Novamente usando a identidade já lembrada para o último termo:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1+2\cos2\theta+\dfrac{1+\cos4\theta}{2}\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac32+2\cos2\theta+\dfrac12\cos4\theta\,d\theta$$

Perceba que o tamanho do intervalo da integral ($\pi$) é múltiplo dos períodos das duas funções cosseno. Lembrando que a integral do cosseno em um número inteiro de períodos é nula, temos:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac32\,d\theta=\dfrac32\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$$

Finalmente:

$$\boxed{V=\dfrac32\pi}$$

Nesse exercício vamos usar integral tripla para calcular o volume pedido.

Como todas as superfícies tem simetria cilíndrica, vamos usar coordenadas cilíndricas, em que o diferencial de volume é:

$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\theta\,dz$$

Vamos, então transformar as coordenadas:

$$(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$$

Então para o paraboloide:

$$z=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2$$

E para o cilindro:

$$r^2=2r\cos\theta\Rightarrow r=2\cos\theta$$

Temos então a integral:

$$V=\int\int\int r\,dr\,d\theta\,dz$$

Adicionando os intervalos, temos:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\int_0^{r^2} r\,dz\,dr\,d\theta$$

Integrando na variável $z$, temos:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\left[rz\right]_0^{r^2}\,dr\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta$$

Integrando em $r$, temos:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[\dfrac14r^4\right]_0^{2\cos\theta}\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^4\theta\,d\theta$$

Para essa integral, lembremos da identidade do cosseno do arco duplo:

$$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1\Rightarrow \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$$

Substituindo na nossa integral:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\left(\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\cos2\theta\right)^2\,d\theta$$

Expandindo o binômio, ficamos com:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1+2\cos2\theta+\cos^22\theta\,d\theta$$

Novamente usando a identidade já lembrada para o último termo:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1+2\cos2\theta+\dfrac{1+\cos4\theta}{2}\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac32+2\cos2\theta+\dfrac12\cos4\theta\,d\theta$$

Perceba que o tamanho do intervalo da integral ($\pi$) é múltiplo dos períodos das duas funções cosseno. Lembrando que a integral do cosseno em um número inteiro de períodos é nula, temos:

$$V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac32\,d\theta=\dfrac32\left[\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$$

Finalmente:

$$\boxed{V=\dfrac32\pi}$$